§10. Арифметические правила какриторическо—алгебраические формулы.
В точном смысле слова поэтому нельзя отнести арифметические правила, имеющие столь важное значение в старой арифметике, к риторический алгебре. Риторическая алгебра начинается только там, где мы начинаем операции над символами, выражающими данные величины, а не только неизвестные, а такой риторический алгебры, отвечающей буквенной, как мы заметили, вовсе не было.
В настоящее время мы имеем скорее типы задач на тройное, смешанное и т.д.
правила, чем сами правила, которые еще в XVII веке были не чем иным, как риторическими формулами, введенными в арифметику только вследствие их практического значения в жизни."Тройное правило прямое - способ к данным трем первым числам найти четвертое пропорциональное"155.
Понятие о тройном простом правиле - к данным трем первым чис-лам сыскивается четвертое пропорциональное того же рода; из данных трех чисел последние два умнолшть между собой и произведение их разделить на первое: частное будет четвертое пропорциональное.
Правило товарищества есть способ, с помощью которого данное число разделяется на части, другим данным числам пропорциональные.
Первый случай, когда данные числа даны без всяких обстоятельств.
Данные числа сложи и
сумму их поставь на первом месте, на втором - общее число, а на третьем - одно из данных чисел из данных и
тройное простое правило повтори столько раз, сколько данных
чисел.
Только эти два правила дают общие риторические формулы для уравнений:
а : b = с : х
[х : у = а : b
jx+y = c
независимо от конкретного значения.
Все же другие правила дают риторические формулы с точным указанием конкретного содержания задачи, а не риторического уравнения. Так что для двух различных по конкретному содержанию задач мы будем иметь различные правила, хотя уравнение будет тем же.
Так, правило смешанное дает возможность определить, сколько следует взять вещества данных ценностей, чтобы смесь имела данный вес и данную цену.
Но задача: N проехал всю дорогу в 190 верст от своего имения до города за 9 часов, причем ехал сперва на лошадях, делая 10 верст в час, затем по железной дороге, делая 35 верст в час; сколько времени он ехал на лошадях, сколько на поезде? - хотя и приводящая к совершенно той же системе уравнений
fax + by = с
{х + у = d
тем не менее не относится к правилу смешенігя.
Если иметь в виду купца, которого желательно научить производить с выгодой или, по меньшей мере, без убытка для себя, махинации с винами и другими товарами, то нельзя отрицать полезности изучения формул, решающих этого рода задачи.
Но в настоящее время арифметический учебник составляется для детей и при этом на первый план ставится не научное значение, а развитие ума.
С этой точки зрения все эти правила в значительной мере теряют свое значение. Их место должны по большей части занимать типы ариф- метических задач, т.е.
наглядно-риторических решений, причем типы должны определяться характером логических операций, а отнюдь не конкретным содержанием задачи.Упомянутая только что задача должна быть отнесена к той же группе задач, что задачи на смешение вин, к задачам с решением, представляющим арифмептзироваиное решение простейшей системы уравнений:
[ах + by = с
|х + у = d
по методу сложения и вычитания.
В ряде задач с наглядно-риторическими решениями, отвечающими течению совершенно различных образцов, учащийся должен прощупать одну и ту же схему логического мышления и научиться ее применять и в других подходящих случаях.
Но не следует отсюда делать заключения о необходимости исключения "правил" из арифметики.
Вне сомнения, что буквенная алгебра пускает свои корни именно в эти правила: в них именно впервые математики пытаются выразить в общей форме хотя бы результат, будучи еще не в силах сделать то же с самим ходом решения, общность которого они уже сознают. Совершенно таким же образом, как согласно § 1, следует от арифметических решений перейти к числовым уравнениям, от правил т.е. словесной формулы, следует перейти к буквенной формуле, но последняя не есть еще буквенная алгебра, а только преддверие в ее.