3.6. Алгебраические методы реконструкции
Алгебраические методы реконструкции нашли наибольшее применение в эмиссионной томографии, для которой характерно малое число элементов изображения.
При реконструкции алгебраическими методами изображение формируется обычно на квадратной матрице из п строк и п столбцов элементарных ячеек шириной Dl.
Выше была получена дискретная запись, эквивалентная основному уравнению (3.7):
(3.29)
где aij — весовые коэффициенты, отражающие вклад i-й ячейки в j-ю лучевую сумму pj; N — число элементов в матрице изображения (для круглого объекта N = pп2/4; М = пт — общее число отсчетов (уравнений) и m — число линейных проекций, отличающихся углом наклона j.
Весовые коэффициенты aij равны площади пересечения i-й ячейки j-м лучом (в виде полосы шириной Dl) и могут быть определены для каждой проекции.
Выражение (3.29) представляет собой систему из М линейных уравнений с N неизвестными. Если экспериментальные результаты (отдельные уравнения) линейно независимы и число уравнений М равно числу неизвестных N, то система имеет единственное решение, которое может быть получено путем обращения матрицы весовых коэффициентов aij:
(3.30)
где a–1 — матрица, обратная a.
Для реконструкции по методу обращения матрицы необходимо выполнить NM умножений, что для объекта круглой формы составит p2n4/4. Например, для матрицы 256´256 число необходимых операций умножения составит 10,6?109, что даже при быстродействии процессора 10–6 с потребует около 3 ч машинного времени на одно изображение, не считая огромного объема памяти. Кроме того, здесь имеются трудности, связанные с не единственностью решения при недостаточном числе проекций.