1.7. Алгебраические операции

Пусть дано множество М.

Определение. Говорят, что на М определена бинарная алгебраическая операция, если всякой упорядоченной паре элементов множества М по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный элемент этого же множества.

Примерами бинарных операций на множестве целых чисел являются сложение и умножение. Однако нашему определению не удовлетворяют, например, множество отрицательных чисел относительно умножения и множество действительных чисел относительно деления из-за невозможности деления на нуль.

Среди известных бинарных операций, производимых не над числами, можно отметить векторное умножение векторов пространства, умножение квадратных матриц порядка n, композицию отображений множества Х в себя, теоретико-множественное объединение и пересечение множеств.

Фактическое задание алгебраической операции на множестве может быть произведено различными методами. Возможно также непосредственное перечисление всех результатов операций для конечных множеств. Его удобно описать с помощью, так называемой таблицы Кэли (табл.2). Слева и сверху квадратной таблицы выписывают все элементы множества. На пересечении строки, соответствующей элементу a, и столбца, соответствующего элементу b, записывают результат операции над a и b.

Будем употреблять следующую терминологию и символику: операцию называть умножением, а результат применения операции к элементам a и b – произведением ab.

Определение. Если для любых элементов a и b множества М справедливо равенство ab = ba, то операцию называют коммутативной.

Определение. Если для любых элементов a, b, c множества М справедливо равенство a(bc) = (ab)c, то операцию называют ассоциативной.

В ряде случаев множество М, на котором определена алгебраическая операция, обладает единичным элементом, т. е. таким элементом e, что ae = ea = a для всех a из М. Единичный элемент единственен.

Теорема. Если операция, определенная на М, ассоциативна, то результат ее последовательного применения к n элементам множества не зависит от расстановки скобок.