1.7. Алгебраические операции
Пусть дано множество М.
Определение. Говорят, что на М определена бинарная алгебраическая операция, если всякой упорядоченной паре элементов множества М по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный элемент этого же множества.
Примерами бинарных операций на множестве целых чисел являются сложение и умножение. Однако нашему определению не удовлетворяют, например, множество отрицательных чисел относительно умножения и множество действительных чисел относительно деления из-за невозможности деления на нуль.
Среди известных бинарных операций, производимых не над числами, можно отметить векторное умножение векторов пространства, умножение квадратных матриц порядка n, композицию отображений множества Х в себя, теоретико-множественное объединение и пересечение множеств.
х1 | х2 | х3 | х4 | |
х1 | х1 | х2 | х3 | х4 |
х2 | х2 | х3 | х1 | х1 |
х3 | х2 | х3 | х1 | х2 |
х4 | х4 | х2 | х1 | х3 |
Фактическое задание алгебраической операции на множестве может быть произведено различными методами. Возможно также непосредственное перечисление всех результатов операций для конечных множеств. Его удобно описать с помощью, так называемой таблицы Кэли (табл.2). Слева и сверху квадратной таблицы выписывают все элементы множества. На пересечении строки, соответствующей элементу a, и столбца, соответствующего элементу b, записывают результат операции над a и b.
Будем употреблять следующую терминологию и символику: операцию называть умножением, а результат применения операции к элементам a и b – произведением ab.
Определение. Если для любых элементов a и b множества М справедливо равенство ab = ba, то операцию называют коммутативной.
Определение. Если для любых элементов a, b, c множества М справедливо равенство a(bc) = (ab)c, то операцию называют ассоциативной.
В ряде случаев множество М, на котором определена алгебраическая операция, обладает единичным элементом, т. е. таким элементом e, что ae = ea = a для всех a из М. Единичный элемент единственен.
Теорема. Если операция, определенная на М, ассоциативна, то результат ее последовательного применения к n элементам множества не зависит от расстановки скобок.