§ 6. Алгебраическом аксиоматика Херигона.

Приведем алгебраические аксиомы Херигоиа.

а = Ь

а = с Iab)c = d b = d

а = с

с = а

b = с

"а¦ a>bfa>C

а = bl

Ilia. 1) c = d a-c = b-d

M u П-1.

a b 1 D c = b a+ +d

IVa. c) . f a + с > b + d

a = bl

IVa. b) c?6d| a + c*b+d

a st bl

Va. 1) c = df a > bl

Via. b) a>b}2a>2b via. c) a = 2b

Va-c)cb~d

a = 2c

a = b

Vla.l)b = 2c^ b = с

a = 2c 1

VIa"d>al2cfb = 2C

a = b

a =—с 2

Vila. 1) і b = —с 2 od

a > b

Vila, b) a=—с 2

b=—d 2 b = с

b = —с 2

Vila, с) a = !t

• a = —с 2

a = b

2

Vila, d) a = Ic 2 a-b -b J

a = bl «o^dj

XVa.b) a = b| (c + a)-(d + b) = c-d

XVIIa.

(a - c) - (b - d) = d - с

XVIIIa. 1) J(c-a)-(d-b) = c-d (a_c) = i(b-d)

a = —b 2

XX) I с =—d

2 a = 2c I

^^ b = 2d}( ) = 2( }

а не > b] ХХІа-1)аие<ь|а = Ь Мы пользуемся современной символикой.

Если строго различать символы 2|2 и snt 2|2 Fe n" = b" понимать во втором смысле, т.е. брать а + b 2|2 с + d b & d snt 2)2 Fe

то не трудно видеть, что I al) вытекает из III а, и II а(. На первый взгляд представляется очень странной аксиома VI а, кис будто бы тождественная I а.

Чтобы решить эту загадку, следует заметить, что 2с результат некоторой операции иад с —удвоения.

Чтобы усвоить себе особое значение этой операции, следует уяснить, что представляла из себя алгебра во времена Херигона.

Понятие геометрической величины проделало большую эволюцию. Когда в алгебре предлагают уравнение ах1 -I- Ьх + с = О, то а, Ь, с считают числами, х (неизвестное) тоже числом. Но в XVII и XVIII вв. алгебраическая величина это - род, объемлющий два вида: непрерывные величины, каковыми являются геометрические длины, поверхности и объемы, дискретные величины, т.

Сочетание ab понимается или как результат умножения числа а на Ь, или как результат умножения отрезка а на Ь, причем понимание умножения отрезков подвергается метаморфозе. Сперва это образование прямоугольника, построенного на а и b (между а и Ь, как говорит Евклид) - результат ab - площадь этого прямоугольника, позднее же (у Декарта) это отрезок, получаемый построением на OA и ОС: откладывается OA = а, ОС = I. приводится АС на ОС, на OA откладывается ОВ = b и из В проводится BD || АС, тогда OD = х = ab, т.е. х : а = b : I181.

Алгебра возможна потому, что нормальные законы операций: сложения, вычитания, умножения, деления отрезков - те же, что у соответствующих действий над числами.

Обращение алгебры в численную алгебру произошло с установкой взаимообразного соответствия между числами и геометрическими объектами.

Стоя на такой точке зрения, Херигон естественно должен был вы-делить удвоение, как особую операцию над величинами, так как для непрерывных величин (например, отрезков) умножение сводится к последовательным удвоениям, а само удвоение есть геометрическая операция, не производимая ни в коем случае над двумя отрезками, а только над одним. Деление же пополам, не основанное на теории подобия, коренным образом отличается от деления на 3, 4, 5 частей.

Интересно сравнить систему аксиом Херигона с системой Фортунатов , относящейся уже к XVIII веку. II. а, Ь, с части ш ш > а, га > b, m > с

III. а

I. а, Ь, с части m їй = а + b + с а + b + с = пі a = b b = а с = a

а = b b = a

a = с

а = Ь d = с а = d

а= с b = d с ф d

b = с

> a^b

с = b

b = с

IV.

V.

VI.

VII.

a = b b = a с = d d = с a = с

a = b

г

vm.

IX.

b = d b=alb*c и C~dlb*d x a = Ha + c = b + d

а Ф с

a^c a = bl а не > b I , a > b ]

„.c = d a-cb-d ХІІ.аие<ь a = b xm.oed a+ob + d a > b c = d

XIV.

a — о > b — < Здесь а=Ь определенно отличается от j '1, причем последняя

vb = а/

символика ставится на место херигоновскнх? Snt 2|2 Fe

Первая аксиома Евклида (и вместе с тем и первая аксиома Херигона) у Форгунато разбивается на три: IV, VI, VII.

Последние две он мог бы сплавить в одну:

а = Ь|

b = а [ Ь — с

с = a j с = b

а = с j

Отчего аксиома VI не подводится как частный случай, под IV, заменяя d на а?

Потому что во втором случае мы имели бы три условия: а = b, а = с, а = а, с иным порядком членов и с недостающим условием.

Если отнести эти аксиомы к отрезкам, то геометрическое их значение будет совершенно различно:

в VII а накладывается на b, a b на а, и в обоих случаях имеет место совпадение, с накладывается на а - утверждается совпадение при наложении с иа Ь,

в VII а на b, b на а, а на с и утверждается совпадение при наложении b на с,

в IV а на b, d на с и в обоих случаях совпадение, кроме того а на d и тогда совпадение - утверждается совпадение при наложении b на с.

К этому времени коллекционирование очевидных аксиом оказывается математикам совершенно не по силам, так как число их быстро рас-тет, проблему о собирании всех очевидных аксиом приходится заменить проблемой о собирании тех, из которых можно вывести все положения, но при этом вовсе не ставится условие независимости этих постулатов.

Необходимость сокращения их числа вызывает к жизни аксиому а = а, которая может иметь смысл и быть признана за очевидную истину при изменении самого смысла взаимоотношения равенства между а и Ь, которое должно уже пониматься не в смысле непосредственного их взаимоотношения, а взаимоотношения каких-то двойников, создаваемых мыслью (отрезок накладывается сам на себя).