§ 8. Пеапо и Херигон.
На первый взгляд в этой идеографии может представиться логистическая тенденция, можно увидеть в ней предтечу пасиграфии Пеано192.
Но сходство только внешнее. По существу же здесь огромная раз-ница.
Возьмем ряд систем понятий.
Ар А,, Аі...
А',, А'3,,.
Д II Д7, Д"
п j, Л 2> Л j.,,
положим, что путем некоторых операций
р р р
] > 2' 3'"
над ними получаются системы;
в„в2,в3...
B',-BVBV" В"„ В",, В",...
отсюда операциями: Q,, Q2, Q3...
получаются:
С,, Cv Cj... С',, С',, C'j... C"l' C"v С"у..
Если с формальной точки зрения системы отождествляются, те признаки, которыми эти системы различаются, являются логически ие действующими. Для всех них устанавливается одна и та же система символов.
Так Пеано одним и тем же символом із обозначает и вывод и отнесение к классу класса.
"а г? Ь" означает "из а вытекает Ь," если a, b - предложения, и означает "а есть Ь" если а и b - два класса.
a d b.b d с: э:а э с можно понимать так: "если из а вытекает Ь, из b вытекает с, то из а вытекает с", или же, "если а есть b, b есть с, то а есть с".
То лее относится и к п, и п- знакам логического умножения и сложения, словесно выражаемым "и" и "пли".
В логике предложений а о. b - совместное утверждение двух положенні!: стороны равны и углы равны; в логике классов а и Ь - класс, входящий в а и Ь, например, "старый немец", т.е. из класса а стариков взяты все принадлежащие ныне к классу немцев.
В логике преддолсений а и Ь-утверждение одного из положений: А равно А, или А меньше В. В логике классов aub-класс, составленный из а и Ь, например, aub выбывшие из строя, если а - убитые, b - раненые.
В этой символике нетрудно прочесть положеній:
х2 - Зх + 2 = 0 : =3 : х = 2 и х = 3 (х - I)1 + (у - 2)2 = 0. п х. у. =з real: э:х = 1пу = 2 первое: если х2 - Зх + 2 = 0, то х = 2 или х = 3; второе: если (х - I)2 + (у - 2)2 = 0 и х, у суть величины, то х = 1 и у = 2 ("то" и "суть" означены одним символом).
Таким образом, проблема символики с современной точки зрения относится к операциям, которые с помощью нее доллсиы быть ясно пред- ставлены разложенными на простейшие элементарные операции, сводящиеся, по мнению логистиков, к чисто логическим.
С точки зрения рационалистов XVII века все упомянутые системы должны означаться различными символами, именно для того, чтобы ие было между ними смешения, чтобы исправить недостатки словесного языка, грешащие против II и III паскалевых правил. Именно с той целью и создается новый язык символов, в котором между знаками и понятиями строго определяется взаимно-однозначное соответствие.
Это не только сокращенные словесные выражения, это - замена неточного словесного выражения точной символикой.
В выражении "продолжим ab" есть неточность, так как продолжить можно, идя и по прямой, и по кривой; если бы bd была дугой круга, то все-таки можно было бы bd считать продолжением, хотя, правда, криволинейным и т.д.
То же относится и к обозначению
a, b II a, b - прямоугольник, построенный на а, Ь.
Вне сомнения, в этот символ мы имеем вложить то, что может быть выражено в словах только с помощью длинного периода.
Выражение: "прямоугольник, построенный на а, Ь" - не говорит, конечно, всего, что следует сказать.
Ведь следует для полноты указать, как следует строить этот прямоугольник.Положим, что кто-нибудь строит прямоугольник так, что а является его диагональю, ah- основанием; он будет употреблять то же выраже-ние - прямоугольник, построенный на а и Ь, отличая его от прямоугольника, построенного на с, d.
С указанной выше формализацией математики символизм операций подвергается соответствующему упрощению, так как символ начинает определяться больше механизмом формальных операций и меньше объектами, над которыми производятся эти операции.
Раньше введения понятия об иррациональном числе и установки взаимно-однозначного соответствия между числами и геометрическими величинами была усмотрена система общих законов, соответствующих фор- мальиым операциям над числами и отношениями, что и вызвало взгляд на отношение как на число.
Сперва равенство отношения означается символом "::", так что про-порция пишется так:
а : b :: с : d (Ухтред),
а равенство дробей так: = .
В дальнейшем один и тот же символ "=" стал фигурировать в обоих случаях (у X. Вольфа).
Херигон предлагает обозначать отношение так:
а % с п
но чаще употребляет другое: а % b 2|2 с л d, в котором 2|2 с точки зрения его современников можно было бы опротестовать, но "а я Ь" еще b
отнюдь не тождественно дроби