§ 5. Херигон и Гильберт.
Если рационалисты XVII века заботились больше об очевидности основных положений, а наши современники об их минимуме, то вовсе не следует думать, что первые совсем исключили требование минимума, а вторые остаются глухи к требованиям очевидности.
Как молено меньше аксиом со слабой степенью очевидности - вот требование минимума XVII и XVHI в.в, Гильберту же при выборе своей минимальной системы постулатов приходится все-таки ограничиваться положениями очевидными, ибо ішаче геометрия перестала бы убеждать.
Он позволяет только быть менее требовательным в этом отношении. Если бы он отверг требование очевидности, то, может быть, достиг бы еще большего сокращения основных постулатов, но его геометрия тогда никого ие убедила бы.Попыток построения геометрии при минимуме основных неочевидных положений еще не было сделано. Но они были бы необычайно интересны: в наличности тех или иных теорем они никого не убедили бы, но они дали бы знание, с точки зрения будущей науки не менее ценное, - знание логических связей между положениями геометрии иных, чем те, с помощью которых убеждаются в их истинности.
В XVII в. ту роль, которую в недавнее время сыграл Гильберт, выполнил Херигон180.
Аксиоматика Херигоиа сводится к коллекционированию очевидных истин, и он вполне уверен, что ему удастся, пополнив надлежащим образом Евклида, собрать полную коллеісцию аксиом. Он совершенно не интересуется вопросом: зависимы или независимы аксиомы его системы, и бесспорно, что в его системе аксиом существуют зависящие мелсду собой.
Но он интересуется тем, чем современная аксиоматика менее всего интересуется. Он еще интересуется тем, чем интересовался схоластик, смотревший вглубь понятий и различавший их не столько с точки зрения опе-рациональной, сколько с точки зрения внутреннего содержания. Суще-ствуют геометрические объекты, играющие совершенно одинаковую роль в формально-логических опервдиях, логические эквиваленты относительно большей или меньшей части аксиом, лежащих в основе геометрии, но, бесспорно, различные между собой, хотя различие определяется такими признаками, которые ие укладываются в логические термины и при развертывании геометрической системы являются логически недействующими.
С логической точки зрения непрерывная система точек (пунктуал), которую несет на себе окружность, и сама окружность могут быть отождествлены, ибо, например, три точки определяют этот пунктуал и вместе с тем и его носитель - окружность; прямая может иметь с ней не больше двух точек и с этим пунктуалом и с окружностью, хотя совокупность, хотя бы и бесконечная, точек и кривая, бесспорно, - две различные вещи.То нее относится и к углу как наклонению и к углу в бертрановском смысле, как неопределенному пространству, ограниченному двумя пересекающимися прямыми181 ит.д.
Если при коллекционировании очевидных истин отойти от чисто формальной точки зрения, при которой происходит отождествление различных объектов, удовлетворяющих одной и той же системе формальных постулатов, то коллекция наша сильно разрастется, как это имеет место у Хер иго на.
Интересно исследовать и онтологические, и логические системы аксиом, которые выявляют тот же характер. У картезианца Гейлинку (Melliodus, Cap. II), мы имеем как различные аксиомы: последующее верно, если предыдущее верно; говорящий, что последующее верно, говорит, что и предыдущее верно; невозможно, чтобы предыдущее было верно, а последующее не верно и т.д.
Наряду с 4-мя "постулатами" (3 евклидовских он дополняет постулатом: всегда можно взять величину большую или меньшую данной) он выставляет еще 44 аксиомы (Communes uotiones).
Различие точек зрения рационалистической и современной (можно было бы сказать логической) выступает уже в первой группе гильбер- товских182 аксиом: 1,.,. Сопряжения (der Verknupfung) по Гильберту:
Две различные точки А и В определяют прямую.
Любые две различные точки прямой определяют эту прямую; эти аксиомы можно было заменить двумя взаимными (получаемыми обменом точки на прямую и обратно).
Две различные прямые а и b определяют точвд
Любые две различные прямые, принадлеж;ццие точке, определяют эту точку.
Для Херигона же аксиомы:
две прямые пересекаются в одной только точке (9 а.
Ь),две прямые имеют одну только общую точку,
суть совершенно различные положения, в равной мере очевидные.
При этом к ним присоединяются две аксиомы, устанавливающие между ними связь:
Две прямые имеют общую точку пересечения (10 а.1).
Общая точка двух прямых - это точка их пересечения (19 а.Ь).
При дальнейшей обработке мы получаем аксиомы:
Две прямые a, b имеют или все точки общими, или одну, или ни
одной.
Две прямые a, b имеют или одну точку пересечения или не пересекаются.
Если прямые a, b пересекаются, то имеют только одну общую
точку.
Если прямые a, b имеют только одну общую точку, то они пересекаются.
Если прямые a, b имеют две или больше общих точек, то не пересекаются, а совпадают.
Общая точка прямых a, b в том случае, когда существует одна такая точка, всегда есть точка пересечения.
Точка пересечения прямых a, b всегда их общая точка.
Конечно, при развертывании системы формально-логических доказательств
а и b равны между собой
можно заменить
а = b, b = а
установив как основной постулат, что второе отношение а, вытекает из первого.
Но в понятии равенства между собой чувствуется нечто иное, чем совокупность двух отношений а = b и b = а, члены которых имеют определенный порядок. Это отношение совершенно чуждо идее порядка.
Конкретная операция проверки: (А равно В) сводится к наложению А на В, (В равно А) - к наложению В на А, - при этом основной постулат утверждает, что, если в первом случае имело место совпадение, то оно имеет место и во втором.
Проверочная операция (А и В равны) сводится к такой операции, в которой роли А и В совершенно одинаковы (в случае отрезков А и В оба переносятся так, чтобы концы их попали в одну точку и отрезки подвергаются одинаковому вращению до их совпадения).
У Херигона в его идеографии для двух этих понятий имеются различные обозначения.
а 2/2 b - а равно b а & b silt 2/2 Fe - а и b равны между собой.
Впрочем, следует согласиться, что здесь у Херигона остается неясность и незавершенность.
В данном перечне его аксиом нет аксиомы эквивалентности а = b и b = а и поэтому равенство "а 2/2 Ь" в его системе аксиом следует понимать скорее в смысле "а и b равны между собой", чем в смысле "а равно Ь". И здесь, как в разобранном выше случае, дальнейшая обработка аксиоматической системы согласно идеям рационализма повела бы к массе новых аксиом и к дальнейшему раздуванию и без того громоздкой системы.Обратим внимание на то, что у Херигона нет аксиомы а = а.
Равенство это с евклидовой и его точки зрения могло бы иметь смысл только в случае двух, а не одного объекта183.
Отношение равенства имеет всегда два члена.
Сказать Д ABC = Д ABC все равно, что сказать, что я сам себе брат.
Иное дело логическая аксиома тождества "А есть А", здесь первый член ие одно и то же, что второй: первый индивидуум, второй же класс. "А есть А" - не равенство, а отношение А к классу, состоящему из одного этого индивидуума.
Но тогда аксиома "если а = Ь, то а + с = b + с" не подводится под аксиому "если а = Ь, с = d, то а + с = b + d" (2 акс. I книги "Начал" Евклид) и т.д.