§ 4. Операции повышения степени очевидности.
Следует обратить особое внимание на то, что рационалисты XVII и XVIII вв. признавали различную степень очевидности основных положений, признавали, что в иных случаях разум можно поставить в такое положение, при котором степень очевидности какого-либо истинного положения возрастет.
Для этого необходимо очищение разума от чувственности, закрывающей лучи его натурального света своего рода туманом.
И если мы теперь обратимся к рассуждениям рационалистов, то легко усмотрим при-сутствие в них особого рода доказательств, имеющих своим содержанием не строго логический вывод исследуемого положения из положений очевидных или же выведенных из очевидных, но различного рода пояснения, настраивающие так, что положения, очевидные для автора, после этих пояснений становятся в равной мере очевидными и для читателя.Возьмем основную аксиому Арно175, введение которой позволяет ему избежать неприятного для рационалистов XVII века метода наложения.
Она состоит в том, что если двум точкам С и D прямой присуще свойство равноудален пости от А и В, то то же свойство присуще всем точкам прямой CD176.
Другие авторы, делая уступку методу наложения, но желая сохранить оригинальный порядок теорем по Арно (ordo Arnoldiani), доказывали это пололсение не с помощью теорем о конгруэнтности треугольников, а С помощью сгибания, т.е. методом наложения177. Арно, с одной стороны, сознавая, что он не смолсет, минуя метод наложения, доказать это пололсение, с другой стороны, сознавая и то, что оно уступает в очевидности другим его аксиомам, вынужден употребить упомянутое выше средство убеждения, или увеличения степени очевидности.
Приводим его шесть аргументов:
"Я утверждаю, - говорит он, - что только одно созерцание (consideration) природы прямой линии заставляет видеть истинность этого положения и что без него невозможно сохранить в геометрии естественный порядок вещей.
Ибо: 1) Так как пололсение прямой зависит только от двух точек, и при задании этих двух точек оно все дано, т.е.
положение всякой другой точки определено, видно (il est visible), что пололсение этих двух точек се- гущей линии, из которых калсдая представляет равно отстоящую от двух точек, определяет все точки так, что они тоже равно отстоят".Это, конечно, не логическое доказательство и Арно за таковое его не выдает.
Пусть точка С находится на расстоянии d от точки А, пусть другая точка D находится на том лее расстоянии d от точки А. Рассуждая по Арно, нужно было бы заключить, что и всякая другая точка Е прямой CD находится на том же расстоянии d от А178.
Действие этого шаткого аргумента усиливается другим:
2) "Если бы была какая-либо точка Е, более близкая к А чем к В, то прямая необходимо была бы согнута в эту сторону".
Здесь разум приглашается к особого рода операции, к попытке построения прямой с противным аксиоме свойством.
"Нет основания тому, почему бы этой точке приблизиться к одной стороне предположительно перед другой, ни тому, почему приблизиться на то или другое количество.
Ибо положение данных точек, определяющих и все остальные точки прямой, может их определить только с равными расстояниями, ибо для них самих существует это равенство".
Это весьма туманное изложение вероятно следует понимать так:
Точки С и D вполне определяют прямую CD. Плоскость ею разбивается на две части Р и Q. Если бы мы не имели СА = СВ и DA = DB, то обе стороны Р и Q различались бы по своим свойствам относительно прямой С и точек А и В, и причиной сему было бы то, что пара расстояний от A (d,, d,) была бы иной, чем пара расстояний от В (d',, d'2)17!l.
Но раз (d , d2)(d'l, d'2) одинаковы для обеих сторон, то и все свойства одинаковы, ибо все свойства определяются, если будут даны расстояния Е и D от А и В.
Это, конечно, не математическое доказательство. Это обращение к общим свойствам пространства, которые как бы смутно нами чувствуются, а не зрятся, как частные свойства фигур, определяемые аксиомами.
Рационалист Арно, конечно, отвергает, что какое-либо ложное по-ложение может когда-либо сделаться очевидным.
Если положение не всегда очевидно, но когда-либо бывает таковым, то оно истинно, ибо существуют моменты, когда туман чувственности, застилающий истину, расходится и разум с полным внутренним про-зрением постигает истину.
"Все геометры, - продолжает Арно, - видимо сходятся на очевидности этого положения, ибо при решении всех проблем, касающихся пер ие иди кул яро в, все их дело сводится к разысканию двух точек секущей, из которых каждая отстоит одинаково от двух точек прямой.
И какими бы рассуждениями они ни старались доказать, что их проблемы таким образом разрешаются, тем не менее ясно, что по природе вещей только именно это их разрешило".
Арно хочет сказать, что тот факт, что решение ведется всегда через явно или неявно использованную его аксиому, которую при окончательном обосновании стараются обойти, указывает на лежащую уже в уме некоторую тенденцию к ее признанию.
В 5-м аргументе Арио просто аппелируется к особому вниманию - своего рода апперцепции очевидности.
Особенно интересен 6-й аргумент.
Вера Арно в разум так велика, что он признает возможность не только вывода всех положений из очевидных, как Гильберт, но и возможность строгого проведения всей системы доказуемых положений в некотором естественном порядке, отвечающем установленной им иерархии геометрических объектов по степени их простоты.В 6-м аргументе он выставляет необходимость установления в основе геометрии его аксиомы для осуществления естественного порядка как доказательства не только истинности, но и очевидности этого положения, т.е. наличности какого-то тумана у тех, для кого это положение неясно само по себе.
6) "То, что должно уничтожить сомнение в том, что положение это можно принять как ясное само по себе (claire d'elle meme), это то, что иначе пришлось бы нарушить естественный порядок вещей и употребить треугольники для доказательства свойств линий, т.е. с помощью более сложного объяснять более простое, что совершенно противно истинной методе".