<<
>>

Алгебраические структуры.

Определение. На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов a, b, c Î A выполняется свойство ассоциативности:

2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенcтво:

3) для любого элемента а множества существует элемент а’ из этого же множества такой, что

Различные множества могут являться группой относительно какой– либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов называется порядком группы.

Определение. Между элементами множеств M и N установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного множества соответсвуют различные элементы другого множества.

Определение.

Две группы M и N называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых двух элементов a, bÎ M и соответствующим им элементам a’, b’Î N элементу

с = ab будет соответствует элемент c’ = a’b’.

При этом отображение группы М на группу N называется гомоморфизмом.

Определение. Если операция, определенная в группе коммутативна, (т.е. для любых элементов a и b группы верно соотношение ab=ba), то такая группа называется коммутативной или абелевой группой.

Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с Î R справедливы равенства:

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a? 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Алгебраические структуры.:

  1. 8.1.1 Многомасштабные разложения и первичная структура ДНК
  2.   § 3. Смысловая структура слова
  3. Структура научной теории
  4. ls§ 3. Смысловая структура слова
  5. Глава 13 Живая плоть как пространственный знак жизни
  6. § 3. Смысловая структура слова
  7. Математика, естествознание и логика (0:0 От Марк[с]а)
  8. Содержание дисциплины
  9. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
  10. Алгебраические структуры.
  11. Перечень вопросов к зачету на первом курсе
  12. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  13. § 4. СТРУКТУРА И ФУНКЦИИ НАУЧНОЙ ТЕОРИИ. ЗАКОН КАК КЛЮЧЕВОЙ ЕЕ ЭЛЕМЕНТ
  14. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  15. Лекция 12. Структура и устройство биполярных транзисторов. Принцип действия биполярного транзистора и его основные параметры
  16. Управление манипулятором с переменной структурой