§ 1. История повой аксиоматики.
История неевклидовой геометрии дает богатейший материал для психологических размышлений. Как и в других случаях, мы здесь наблюдаем эволюцию не только решения поставленной проблемы, но и самой ее постановки, так что в позднейшей стадии своего развития проблема так же мало похожа на то, чем она была раньше, как старик похож на годовалого ребенка.
Сперва это задача только о дополнении Евклида156, о доказательстве недоказанной теоремы, принятой, скрепя сердце, за постулат или ак-сиому (Геминус, Наснр-Эддин); затем об исправлении Евклида путем замены сперва его системы определений, а затем системы аксиом другими, более согласующимися с идеалами сперва рамичесшй (Рамус157, Клавий158), а затем картезианской логики (Борелли150, Арно160), Сенсуалистическая гносеология, по которой всякое знание, даже геометрическое, вытекает из опыта, создает мысль о возможности ошибки в постулатах евклидовой геометрии и возможности другой, более приближающейся к истине геометрии.
Таким образом возникает проблема о доказательстве истинности евклидовой геометрии (Саккери161, Ламберт162, Лежандр163).
Перед математиками выступают три системы геометрии, из которых две стараются исключить путем вскрытия в них противоречия.Далее - проблема о строении неевклидовой системы геометрии, не удовлетворяющей 5-му евклидову постулату, построение логически возможных пространств. построение "Summum genus" - высшего рода, объемлющего эти пространства (Грассман164, Риман165, Гельмгольц1^ и Ли167). Но отсутствие противоречия в геометрической системе, развиваемой в одном из этих пространств еще не доказывает, что это пространство может существовать, ибо противоречие может оказаться в тех положениях, которые не вошли в эту систему.
Здесь проблема из онтологической - о реальном пространстве, обращается в чисто логическое аксиоматическое иследование (Бельтрами1®, Клейн1®, Гильберт170), в исследование совместности положенных в основание геометрической системы постулатов.
Молено сказать, что вместе с тем с глаз математиков спадает пелена, закрывавшая более широкие взгляды на задачи математики. В то время, как раньше интересовали только узлы той сети, которую образуют ма-тематические положения со связующими их логическими связями, и требовалось указать хотя бы одии путь от постулатов к теореме, теперь интерес переносится на саму сеть.
В начале этой сети ряд аксиом; А, В, С...
D; дальше положения Р, Q, R... Эти последние требуется не только вывести из А, В, С... D, но и требуется разузнать всевозможные системы путей, идущих от А, В, С... D и вытекающих в Р, Q, R... S, требуется определить, возможно ли доказать положення Р, Q, R... S с помощью только части выставляемых постулатов А, В, С... D. Но это еще ие все. Из очевидных постулатов (таких, которые поэтому могут быть названы аксиомами) требуется найти минимум, из ко-торого выводится определенная Система пололеений.Но ту лее проблему молено отнести и к неочевидным положениям и, задав ряд положений Р, Q, R... S искать, идя, так сказать, против течения в логической сети, минимум неочевидных положений, из которых, идя через различные узлы сети, можно вывести положения Р, Q... S.
Проблема: "доказать положенияР, Q, R... S" обращается в следую-щую:
Определить, возмолено ли вывести Р, Q, R... S из положений А, В, С... D и если возмолено, указать этот вывод (и даже более того, всевозможные выводы Р, Q, R... S из А, В, С... D).
Психологическое, а отнюдь не логическое свойство очевидности некоторых постулатов ие дает никакого аргумента за то, что из системы очевидных постулатов можно вывести всякое положение. Поэтому, конечно, существуют верные, но недоказуемые положения, если доказуемость понимать так, что конечным ее результатом должны явиться убеждения в правильности выставленного положения.
Основной проблемой поэтому является следующая. Возможно ли доказать положение Р, Q, R ... S и, если возможно, то построить доказательство, при этом изыскать среди нескольких возможных доказательств то, которое отвечает минимуму очевидных постулатов.