§2. Правила Паскаля.
Вот вкратце происхождение современной аксиоматики и ее частью решенные, частью нерешенные проблемы.
Мы стоим теперь там, где логика сходится с психологией, где уже чувствуется разочарование в идеалах чисто логической математики, где психологический анализ вскрывает, что то, что представляется чисто логическими операциями, оказывается иллюзией, приводящей к чисто психо-логической проблеме.
Прошедшее всегда подвергается искажению проецированием иа него настоящего, многие видят в рационализме XVII века логистические тенденции последнего времени.
Верно только то, что во времена Лежандра и еще более в первой половине XIX века об аксиомах не лоб или говорить, и как характерное свойство лежаидровых учебников171 можно выставить отсутствие аксиом; в XVII веке своеобразная аксиоматика занимала почетное место.
Нельзя отрицать того, что математиков того времени интересовали аксиомы как и нас. Но только в них интересовало именно то, что нас в настоящее время менее всего интересует.Это было время, в которое ие логика с психологией, а метафизика сходилась с математикой, математизировались метафизические идеи, которым при дальнейшей эволюции математической мысли суждено было логизироваться.
Очевидные истины, лежащие в основе знания, представлялись тогда своего рода откровениями свыше, врожденными человеческому разуму, который при конечности опыта несет в себе ие извлекаемую из опыта идею бесконечности.
Основной аксиоматической проблемой являлась поэтому не логи-ческая проблема совместности и независимости аксиом, а іметафизическая проблема собирания полной коллекции очевидных, истин.
Рядом с этой проблемой стояла другая - о разыскании средств для повышения степени очевидности этих, правда, очевидных, но только не в равной мере очевидных истин.
Следует вдуматься в правила Паскаля172 чтобы ясно представить характер этой совершенно чуждой нам эпохи.
Не следует ничего определять, что само по себе так известно, что не может быть определено с помощью более простых выражений.
Это значительно уменьшает определения того значения, которое придается ему схоластической эпохой.
Таким образом не следует возиться с точкой, стараясь ее тем или другим способом определить, а тем более нагружать ее несколькими определениями. Точка - нечто настолько простое, что достаточно только отрешиться от чувственности, чтобы увидеть ее, так сказать, как на ладони.Неопределимость некоторых простейших объектов признается и логистическим направлением, но вовсе не потому, что этот объект признается постигаемым непосредственным прозрением, но потому, что это пустой символ, жизнь которому в нормально-гипотетической науке дают только относящиеся к нему постулаты.
Не следует оставлять без определения ни одного темного или рождающего двусмысленность выражения.
Следует при определениях употреблять только такие слова, которые или вполне известны, или которые тут э/се вполне разъяснены.
Эти два правила разъясняют сущность идеографических опытов XVII века, о которых ниже будем говорить.
Следующее правило отражает в себе рационалистический взгляд на аксиомы:
Не следут проходить мимо какого-либо основного положения, как бы оно не было ясно и очевидно, без вопроса: можно ли это положение признать за аксиому.
За аксиомы следует принимать только то, что совершенно очевидно.
Таким образом, предполагается какой-то особый акт, с помощью которого определяется степень очевидности положения и возможность отнесения его к совершенно очевидным истинам, т.е. аксиомам.
Отсюда, конечно, одии шаг до признания пололеений с очевидностью, колеблющейся около порога совершенной очевидности, и изыскания средств для закрепления его над этим порогом, о чем мы будем еще говорить.
В шестом правиле Паскаль отступает от Евклида, но остается столь лее далек и от современной математики.
Не следует ничего доказывать, что и так очевидно, что не нуждается ни в каком более ясном средстве доказательства.
Доказательство еще не является самоцелью, логическая сеть, связующая математические истины, еще не служит предметом исследования.
Совершенно не валено, связаны ли между собой логически очевидные истины.
Эти правила, не выдумка самого Паскаля, а выражение лишь того, что в его время думали, разъясняя сущность идеографических опытов XVII века, например Херигона.
Идеография XVII века - это изыскание хорошего безошибочного языка, в котором каждая вещь и каждая операция обозначаются точным символом.
Проблема логического автомата мало интересует мыслителей того времени. Характерной чертой рационалистической эпохи, в особенности более ранней, является то, что интересуются не столько методами изыска-ния истины, сколько методами избежания ошибок173. В сущности говоря, как Бэкон не исследовал сущности индуктивного метода, [так її] Декарт - дедуктивного. Но оба они, главным образом, занимались ошибками, возникающими при индуктивном и дедуктивном родах мышления.