<<
>>

2.3. Арифметический корень n-й степени

Определение: Корнем п-й степени из числа называется число, п-я степень которого равна а.

Если n=2, то имеем квадратный корень. Если n=3 , то корень называется кубическим.

Если а>0 и b–корень чётной n-й степени (n=2k), то и (-b) также является корнем n-й степени из числа а, т.к.

(-b)n=(-b)2k=(b)2k=(b)n=a.

Действие нахождения корня n-й степени из числа называется извлечением корня n-й степени. Это действие является обратным к возведению в n-ю степень.

Если a0, b>0), то a>b.

Доказать: . Для доказательства применим основное свойство арифметического корня и приведём корни к общему показателю 6 (наименьшему общему кратному показателю данных корней): Так как , то по свойству сравнения арифметических корней получим: .

Замечание: Для корня нечётной степени из отрицательного числа справедлива формула: .

С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2÷ 5 арифметических корней справедливы также и для корней нечётной степени из отрицательного числа.

В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметические, так и корни нечётной степени из отрицательного числа, эти свойства неверны.

Например, для произведения применение свойств 1. и 2. приведёт к неверному результату: .

Правильное решение: .

В случае арифметического квадратного корня было доказано, что для любого действительного числа а.

Аналогично:

Например, в преобразованиях:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении: .

Решение. Так как , то

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении: , где а0 и x– рациональное число, представленное дробью , где m – целое, и n≥2 – натуральное число, то: ; если а0 и x>0, то ax 0.

Например, при а≥0; или при b>0.

Рациональное число представляется в виде дроби неоднозначно, так как при любом натуральном k.

Покажем, что: . В самом деле: (использовано основное свойство арифметического корня).

Свойства функции с целым показателем распространяются на степень с любым рациональным показателем и положительным основанием, например: ap∙aq=ap+q (a>0).

<< | >>
Источник: А.И. Колосов. Пособие по математике (для дополнительных занятий со студентами 1 курса дневной формы обучения всех специальностей, а также с иностранными студентами). Под ред. проф. А.И. Колосова.– Харьков: ХНАГХ, 2005. – 80 с.. 2005

Еще по теме 2.3. Арифметический корень n-й степени:

  1. ПЛАНИРОВАНИЕ КАЧЕСТВА ОБУЧЕНИЯ
  2. Индивидуальные особенности мышления
  3. § 55. Комплексные числа
  4. § 10. Корень в нормальном состоянии
  5. Степень разработанности проблемы исследования
  6. Степень прозрачности связи первого звука в сочетании С’С’/СС’ с твердой фонемой
  7. 10.Членимость слова. Принципы морфемного членения слова и установления его морфемной структуры. Степени членимости основ
  8. § 13. Корень, суффикс и приставка как значимые части слова
  9. Действия с комплексными числами.
  10. 1.4. Порядок действий при арифметических вычислениях
  11. 2.3. Арифметический корень n-й степени