2.3. Арифметический корень n-й степени

Определение: Корнем п-й степени из числа называется число, п-я степень которого равна а.

Если n=2, то имеем квадратный корень. Если n=3 , то корень называется кубическим.

Если а>0 и b–корень чётной n-й степени (n=2k), то и (-b) также является корнем n-й степени из числа а, т.к.

Действие нахождения корня n-й степени из числа называется извлечением корня n-й степени. Это действие является обратным к возведению в n-ю степень.

Если a0, b>0), то a>b.

Доказать: . Для доказательства применим основное свойство арифметического корня и приведём корни к общему показателю 6 (наименьшему общему кратному показателю данных корней): Так как , то по свойству сравнения арифметических корней получим: .

Замечание: Для корня нечётной степени из отрицательного числа справедлива формула: .

С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2÷ 5 арифметических корней справедливы также и для корней нечётной степени из отрицательного числа.

В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметические, так и корни нечётной степени из отрицательного числа, эти свойства неверны.

Например, для произведения применение свойств 1. и 2. приведёт к неверному результату: .

Правильное решение: .

В случае арифметического квадратного корня было доказано, что для любого действительного числа а.

Например, в преобразованиях:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении: .

Решение. Так как , то

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении: , где а0 и x– рациональное число, представленное дробью , где m – целое, и n≥2 – натуральное число, то: ; если а0 и x>0, то ax 0.

Например, при а≥0; или при b>0.

Рациональное число представляется в виде дроби неоднозначно, так как при любом натуральном k.

Покажем, что: . В самом деле: (использовано основное свойство арифметического корня).

Свойства функции с целым показателем распространяются на степень с любым рациональным показателем и положительным основанием, например: ap∙aq=ap+q (a>0).