§ 5. Генезис и основная идея regula infusa,

Я нарочно начинаю с рассмотрения методического значения regula infusa, чтобы подчеркнуть, что в то время, как regula falsi имело огромное значение в истории необоснованных, чисто автоматических решений, regula infusa имело значение в построении обоснованных решений.

Идея состоит в том, что задачи решаются в два или более, чем два, приема.

Вместо того, чтобы определить х, мы определяем у, хорошо сознавая, что узнав у, узнаем также и х.

Мы хорошо знаем, что ученик всегда за х принимает то, о чем спра-шивают, между тем как во многих задачах следует принимать за неизвестное нечто иное и, уже найдя последнее искомое, найдем ответ на вопрос.

Эта идея покажется нам и проще и менее значительной, чем та, что лежит в основе regula falsi.

Но если вникнуть глубже, то будет видно, что она определяет уже более высокое математическое развитие и уже в силу этого должна была явиться позже.

Мыслить единым то, что является в многообразии, всегда представляет затруднения.

Учитель хорошо знает затруднения, которые встречаются при применении формулы:

а1 - Ь2 = (а - b) (а + Ь) (а + b)2 = а2 + 2ab + Ь2

к выражениям

4,\У- 81z4 |2хУ + 5ху2Г

И т.д.

Вот уравнения, решение которых представляет методический интерес (в каковой форме прилагается reguia infusa, предоставляем продумать читателю):

2,1345 (х - 0,5678) + 1,3356 = 7,7391.

3(х + у + 0,689) + 2(х - у - 0,689) = 14.

х + у- 3,311.

5,07833(0,56896х + 2) + 4,72167(0,56896х + 3) » 20.

Здесь следует положить

0,56896 x + h = y

и искать h так, чтобы исчез свободный член. § 6. Диофант11.

Дальнейшая стадия развития reguia infusa состоит в том, что задача об определении х сводится к задаче об определении у из задачи, условия которой подбираются так, что эта последняя задача разрешается и при этом простей шим образом.

Эта идея и лежит в основе диофантовых методов.

У Диофанта нигде нет проблемы, которая выражалась бы в нашей символике уравнениями:

ах2 + Ьх = с

или ах2 = Ьх + с и т.д.

Некоторые историки математики предполагают, что та часть со-чинения Диофанта, в которой излагается решение квадратного уравнения, до нас не дошла.

Но едва ли это так, ибо иначе там, где Диофант имеет дело с квадратным уравнением, он делал бы ссылки на утерянную часть сочинения. Читая соответствующие места, мы получаем скорее впечатление того, что Диофант не сознает, что некоторый класс рассматриваемых им проблем сводится к одной и той же проблеме решения квадратного уравнения.

Во всех весьма многочисленных проблемах, сводящихся как к определенным, так и неопределенным уравнениям, Диофант признает только следующие пути:

1) В системе

f (х , у, z ...) =0 li(x,y,z...) = 0

g (х, у, z...) = ()

подобрать для х, у, z ... такне выражения

х = а^ + (і, у = y? + S, z = ... чтобы удовлетворились все уравнения, кроме последнего, а последнее свелось бы к уравнению первой степени

M^-f-N = P4 +Q. (23)

2) Тем же путем, той же заменой или заменой х = а?2+Ь, у = с?2 +d, z = e?,2+f удовлетворить все уравнения, кроме последнего, приведя последнее к уравнению высшего порядка, ио такого, которое по сокращении на

Е,2 сводилось бы или к уравнению первой степени, или к уравнению:

М^2 + N = Р^2 -i-Q (24)

До 29-й задачи I книги мы имеем только системы уравнений первого порядка.

Система задачи 29-й: ах = уг Ьх = у приводится к уравнению ах = Ь2х2

сокращение которого на х (гипобибазм) дает уравнение первой степени. 30-я задача:

х + у = а, ху = Ь,

т.е. задача об определении чисел по сумме и произведению решается так для случая системы избранных Диофантом числовых значений:

х + у = 20, ху = 96

Принимается разность х - у за 2%, тогда полуразность равна t,

Но полусумма =10 вместе с полуразностыо составляет большее

число, так что большее число есть 4 +10.

Полусумма без полуразности - это меньшее число, так что оно равно 10-Ё,, затем на основании тождества:

(а2 - b2) = (а + Ь) (а-Ь), известного Диофанту, произведение их равно

100-Е,2, так что 100 - = 96, откуда

42 = 4 и % = 2.

§ 7. Генезис чиригаузеиовского преобразования.

Совершенно иначе обстоит дело у индусских математиков: мы здесь имеем и совершенно определенное правило, определяющее рад формальных операций над уравнением, и окончательную формулу для корня уравнения

ах2 + Ьх = с в риторической форме.

Правило Кридхара:

"Следует умножить на 4 раза число квадратов оба члена и прибавить квадрат числа неизвестных", т.е. от

ах2 + Ьх = с следует перейти к... 4aV + 4abx = 4ас, а отсюда к 4а2х2 + 4аЬх + Ь2 = Ь'2 + 4ас, дающему

(2ах + Ь)2 = Ь2 +4ас

2ах + b = л/b2 + 4ае Конечно, и здесь осуществляется идея reguia infusa, но в простейшей форме; подстановка дается в полной определенности. Дальнейшее развитие должно пойти по тому пути, который указывается методами Диофанта, в которых дается лишь форма подстановки, значения же параметров подбираются надлежащим образом.

Мы предлагаем наши обычные методы (индусского и арабского происхождения) Виэты сравнить с методом Диофанта, который, полагая в уравнении

ах2 + Ьх -f- с = О

х = у + т, приводит его подлежащим подбором к чистому уравнению

щг + Р = О

Это, конечно, начало чирнгаузеновского преобразования. От

X = ш + у

естественно переход к

х2 = mx + п + у (25)

х3 = шх" + их + h + у (26)

Чирнгаузеи' решает уравнение третьей степени

X3 + ах2 + Ьх + с = 0, (27)

свода его с помощью (25) к уравнению