3. Критерий полноты пространства

Определение 7. Пусть дано метрическое пространство (X, d) и последовательность замкнутых шаров S[x_k, r_k]. Такая система шаров называется вложенной, если:

1.

2. r_n = 0.

Теорема 2. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система шаров в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому шару системы).

Необходимость. По 2) условию для вложенной системы для " e > 0 $ N: 0 < r_k < e, если k ? N. Рассмотрим последовательность центров этих шаров. В силу условия 1) x_k Î S[x_N, r_N], если k ? N, то есть d(x_N, x_k) £ r_N < e. Тогда по неравенству треугольника легко получаем, что d(x_n, x_k) < 2e для всех n, k ? N. Таким образом, {x_k} - фундаментальная последовательность в пространстве Х. В силу полноты этого пространства существует х = х_n. По 1) условию x_n Î S[x_k, r_k] при n ? k и x_n ® x. В силу замкнутости шара S[x_k, r_k] это означает, что x Î S[x_k, r_k] и это верно для произвольного k. Отсюда x принадлежит пересечению этих шаров.

Используя свойство 2) вложенной системы шаров и неравенство треугольника для метрики покажите самостоятельно единственность этой точки.

Достаточность. Возьмем y_k Î X - произвольную фундаментальную последовательность в пространстве Х. Тогда для "e_k = (1/2)^k $n_k: d(, y_m) < (1/2)^k при m ? n_k.

Следовательно = {x₀}. Тогда 0 £ d(, x₀) £ (1/2)^k-1, то есть ® x₀ (k ® ¥). Тогда в силу леммы 4 сама последовательность {y_k} сходится к х₀.

Теорема доказана.

Определение 8. Диаметром множества М метрического пространства (Х, d) называется число diamM = sup d(x, y), где супремум берется по всем х, у ÎМ.

Определение 9. Система замкнутых множеств М_n метрического пространства (X, d) называется вложенной, если выполнены следующие два условия:

1) М₁ E М₂ E М₃ E ...

2) diam M_n ® 0 при n ® ¥.

Следующая теорема является аналогом теоремы 2 и доказывается точно таким же образом.

Теорема 3. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система замкнутых множеств М_n в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому множеству системы).

Следующий пример показывает важность условия стремления к нулю диаметра множеств в определении вложенной системы.

Пример 9. В пространстве l₂ положим M_n = {x = (0, ..., 0, x_n, x_n+1, ...)}Îl₂: = 1}. Нетрудно видеть, что эти множества замкнуты, удовлетворяют условию 1) и не удовлетворяют условию 2) (вычислите диаметры рассмотренных множеств) определения 9. Достаточно очевидно, что их пересечение является пустым множеством.