3. Критерий полноты пространства
Определение 7. Пусть дано метрическое пространство (X, d) и последовательность замкнутых шаров S[xk, rk]. Такая система шаров называется вложенной, если:
1.
S[x1, r1] E S[x2, r2] E...;2. 
rn = 0.
Теорема 2. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система шаров в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому шару системы).
Необходимость. По 2) условию для вложенной системы для " e > 0 $ N: 0 < rk < e, если k ? N. Рассмотрим последовательность центров этих шаров. В силу условия 1) xk Î S[xN, rN], если k ? N, то есть d(xN, xk) £ rN < e. Тогда по неравенству треугольника легко получаем, что d(xn, xk) < 2e для всех n, k ? N. Таким образом, {xk} - фундаментальная последовательность в пространстве Х. В силу полноты этого пространства существует х = 
хn. По 1) условию xn Î S[xk, rk] при n ? k и xn ® x. В силу замкнутости шара S[xk, rk] это означает, что x Î S[xk, rk] и это верно для произвольного k. Отсюда x принадлежит пересечению этих шаров.
Используя свойство 2) вложенной системы шаров и неравенство треугольника для метрики покажите самостоятельно единственность этой точки.
Достаточность. Возьмем yk Î X - произвольную фундаментальную последовательность в пространстве Х. Тогда для "ek = (1/2)k $nk: d(
, ym) < (1/2)k при m ? nk.
} построим следующую систему вложенных шаров 
. Для проверки вложенности этой системы очевидно достаточно проверить лишь первое условие в определении. Пусть уÎ
. Тогда d(, y) £ d(,
) + d(, y) £ (1/2)k + (1/2)k £ (1/2)k-1, т.е. уÎ и Ì . Следовательно 
= {x0}. Тогда 0 £ d(, x0) £ (1/2)k-1, то есть ® x0 (k ® ¥). Тогда в силу леммы 4 сама последовательность {yk} сходится к х0.
Теорема доказана.
Определение 8. Диаметром множества М метрического пространства (Х, d) называется число diamM = sup d(x, y), где супремум берется по всем х, у ÎМ.
Определение 9. Система замкнутых множеств Мn метрического пространства (X, d) называется вложенной, если выполнены следующие два условия:
1) М1 E М2 E М3 E ...
E Мn E...;2) diam Mn ® 0 при n ® ¥.
Следующая теорема является аналогом теоремы 2 и доказывается точно таким же образом.
Теорема 3. X - метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда любая вложенная система замкнутых множеств Мn в Х имеет не пустое пересечение (существует единственная точка принадлежащая каждому множеству системы).
Следующий пример показывает важность условия стремления к нулю диаметра множеств в определении вложенной системы.
Пример 9. В пространстве l2 положим Mn = {x = (0, ..., 0, xn, xn+1, ...)}Îl2: 
= 1}. Нетрудно видеть, что эти множества замкнуты, удовлетворяют условию 1) и не удовлетворяют условию 2) (вычислите диаметры рассмотренных множеств) определения 9. Достаточно очевидно, что их пересечение является пустым множеством.