<<
>>

Ряды функций комплексного переменного

Опр.

1. Ряд называется равномерно сходящимся в области Q, если:

, ,

2.

Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.

Теорема. Если непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L, , то .(ряд можно почленно интегрировать)

Теорема Вейерштрасса.

Если G- связная область, -аналитические в G,

- ряд, равномерно сходящийся к в G, то

1) f(z) аналитическая в G,

2) замкнутой области ряд из производных сходится равномерно к производной:

.

Док-во:

1) Возьмем произвольную точку z G и окружим ее контуром Г,

Тогда:;

;

; ;

;

;

;

перейдя к пределу, получим:

, таким образом f(z) аналитическая функция.

2) Возьмем контур , такой что внутри .

Г

z .

Рассуждая также, как при доказательстве 1), получаем при n>N, z внутри .

внутри .

Тоже самое можно сделать для точки, принадлежащей замкнутой области (покрыть ее окружностью, внутри которой сходимость ряда равномерна). Таким образом, область покрыта окружностями . Т.к. замкнутая область - компакт, следовательно можно выделить конечное подпокрытие: .

, таким образом доказана равномерная сходимость ряда производных в .

Следствие. Если выполнены условия теоремы Веерштрасса, то .

Теорема Абеля. Если , то если : -ряд сходится, -ряд расходится; -ряд сходится равномерно.

Утв. Если , то аналитическая в круге радиуса R.

Док-во:

В силу теоремы Веерштрасса аналитическая в кольце , но т.к. r выбирается произвольно, то аналитическая в круге.

<< | >>
Источник: Каменский А.Г.. ЛЕКЦИИ по Теории Функций Комплексного Переменного. 2003

Еще по теме Ряды функций комплексного переменного:

  1. 4.1. СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ МАШИН И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
  2. Тема 1. ПОНЯТИЕ И СОДЕРЖАНИЕ ФУНКЦИЙ ГОСУДАРСТВА
  3. Содержание дисциплины
  4. Основные трансцендентные функции.
  5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
  6. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  7. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  8. 2.2. Тематический план дисциплины
  9. Раздел 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
  10. 2.1. Комплексные числа и действия над ними
  11. 2.6. Вычеты функций и их применение