Ряд Тейлора

Теорема. Если -аналитическая в круге , то , радиус сходимости ряда не меньше R.

Док-во:

z

R

Г

;

Это верно, когда .

.

Функциональный ряд * мажорируется сходящимся числовым рядом , таким образом ряд * сходится равномерно его можно интегрировать почленно.

;

Утв. Если сходится при , то на окружности радиуса R есть особые точки.

Док-во:

Предположим противное: все точки окружности – точки аналитичности.

Покроем окружность системой окрестностей ее точек, расширим область аналитичности. Тогда существует окружность радиуса , внутри которой функция аналитическая, следовательно ряд сходится в круге радиуса -не радиус сходимости, и мы приходим к противоречию.

Опр1. Точка называется нулем функции , если аналитическая в точке и .

Опр2. Точка называется нулем кратности k (нулем k-ого порядка) функции , если:

Пример.

- нуль функции

, таким образом точка z=0-нуль кратности 3.

Лемма. Если , аналитические в точке , лежит в области аналитичности f и , , при , то в некоторой окрестности точки .

Док-во:

при

при

и т.д.

, следовательно .

Теорема. задана на последовательности точек , - аналитическая, то определяется значениями единственным образом во всей своей области определения.

Док-во:

Пусть и аналитические и совпадают . Докажем, что они совпадают всюду. Применим Лемму к точке : в некоторой окружности с центром и совпадают. Возьмем точку пересечения этой окружности с ломаной -. . К точке также применяем Лемму.

Далее строим следующую окружность. Таким образом за конечное число шагов

мы дойдем до точки z и

совпадают в z и .

Z