23. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций

Теорема20: пусть , и члены этого ряда непрерывны на кривой , и ряд равномерно сходится на этой кривой .

Введём обозначения:

-- частичные суммы ряда (*)

-- частичные суммы ряда (**)

Если (*) -- функциональный ряд, то (**) -- числовой ряд

Поэтому

Итак, равномерно сходящиеся ряды мы можем почленно интегрировать

Теорема21: рассмотрим

Пусть члены этого ряда есть функции аналитические в области и пусть равномерная сходимость в . Тогда аналитична в , и данный ряд можно почленно дифференцировать, причём справедливо равенство:

доказательство длинное