3) Ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций.
Пусть (1) бесконечная ортогональная на
система функций.

(2) – называется многочленом, где
- некоторая константа системы функций (1). Домножим правую и левую часть выражения (2) на
, где
и проинтегрируем правую и левую части на
.
.
.
(3). Коэффициент
определяемый по формуле (3) называется коэффициентом Фурье для функции
по ортогональной системе функций (1). Определение: Пусть функция
производная, непрерывная или разрывная (допускается разрыв первого рода), заданная на
, для которой интегралы вида (3) позволяют вычислить для функции
коэффициент Фурье с любым n. Ряд вида
(4), где
- коэффициенты Фурье, называемые рядом Фурье для функции
по системе функции (1), при этом можно записать
(4). Знак «~» можно поменять на «=», если докозательство сходимости ряда (4) и этот ряд имеют своей суммой функцию
.