<<
>>

Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если

Определение.

Последовательность функций j1(x), j2(x), …, jn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.

Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.

Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если

Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций j1(x), j2(x), …,jn(x) называется ряд вида:

коэффициенты которого определяются по формуле:

,

где f(x) = – сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].

В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:

Интеграл Фурье.

Пусть функция f(x) на каждом отрезке [–l,l], где l – любое число, кусочно – гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл

Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:

Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:

Переходя к пределу при l®¥, можно доказать, что и

Обозначим

При l®¥ Dun ®0.

Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу

Тогда – двойной интеграл Фурье.

Окончательно получаем:

– представление функции f(x) интегралом Фурье.

Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:

<< | >>
Источник: Архаров Евгений Валерьевич. Учебно–методический комплекс по дисциплине Математика Нижний Новгород, 2011. 2011

Еще по теме Ряд Фурье по ортогональной системе функций.:

  1. 3.4.3 Стохастическая гидродинамика с многомасштабной силой
  2. 7.6 р-Адическое вейвлет-преобразование 7.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование над Qp
  3. Содержание дисциплины
  4. ПЕРЕЧНЬ ТЕМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
  5. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
  6. Перечень вопросов к зачету на втором курсе
  7. ЧАСТЬ 7 ПАРАДОКСЫ «СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ»
  8. 4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
  9. 2.1. Рабочая программа (объем дисциплины 150 часов)
  10. з. Основные уравнения и задачи математической физики
  11. Глава ЗМетоды разложений по собственным функциям
  12. 2. Задачи на собственные значения
  13. 4. Метод собственных функций