5.1. Ортогональные производные системы сигналов на основе ПСП GMW
Современный период развития широкополосных систем связи, базирующихся на технологии CDMA, сопровождается бурным ростом числа работ, посвященных поиску новых систем ортогональных сигналов, используемых в этих системах для расширения спектра и каналообразования [17].
Системы ортогональных сигналов строятся на основе ансамблей ортогональных кодовых псевдослучайных последовательностей, основными требованиями к которым являются [24]:большой ансамбль последовательностей, формируемых посредством единого алгоритма;
хорошие корреляционные свойства последовательностей ансамбля;
сбалансированность структуры;
большая линейная сложность или непредсказуемость символов последовательностей.
В настоящее время в системах связи с CDMA широкое распространение получили ортогональные системы сигналов на основе циркулянтных матриц Адамара и системы функций Уолша, являющимися матрицами Адамара порядка 2". Известно [20], что системы ортогональных сигналов на основе матриц Адамара в целом характеризуются плохими АКФ и ВКФ, что приводит к росту межканальных интерференционных помех в приемнике. Поэтому на практике с целью уменьшения уровня интерференционных помех более целесообразно использовать производные ортогональные системы сигналов [69], имеющие относительно лучшие взаимно-корреляционные характеристики. Напомним, что производный сигнал получается в результате посимвольного перемножения двух сигналов. Соответственно система, составленная из множества производных сигналов, называется производной. Среди производных систем сигналов большое распространение получили системы, строящиеся следующим образом. В качестве первого сомножителя берется некоторая ортогональная система сигналов, последовательности которой не удовлетворяют требованиям на корреляцию, однако обладают определенными преимуществами с точки зрения простоты их формирования и обработки.
Это так называемая исходная система сигналов. Затем в качестве второго сомножителя выбирается широкополосный производящий сигнал с относительно малыми боковыми пиками АКФ. Как показано в [69], корреляционные свойства такой производной системы оказываются лучше, чем у исходной. Обычно в качестве исходной системы используют функции Уолша или циркулянтные матрицы Адамара, образованные всеми сдвигами ш-последовательностей, а в качестве производящих сигналов m-последовательности. В этом случае сбалансированность последовательностей производной системы будет тем лучше, чем меньше пиковое значение взаимной корреляции исходной и производящей последовательностей. Анализ показывает, что, в основном удовлетворяя трем первым критериям отбора, все вышеописанные производные системы сигналов обладают незначительной линейной сложностью. Поэтому актуальной задачей является построение новых ортогональных производных систем сигналов большой линейной сложности с приемлемыми корреляционными свойствами и сбалансированностью.Для решения этой задачи были исследованы производные системы сигналов, в которых исходные системы строятся на основе циклических сдвигов т-последовательностей, а в качестве производящих последовательностей выбраны нелинейные последовательности GMW. Оценка линейной сложности такой производной системы производится с помощью следующей теоремы [70].
Теорема 5.1.
Линейная сложность производной системы сигналов LNPX с исходной т-последовательностью длины 2N-1 и производящей последовательностью GMW такой же длины и линейной сложностью LQMW заключена в границах
LOMW-N^Lnp.c^ LQMW+N . (5.1)
Доказательство.
Согласно формуле (2.44) любая последовательности {bn} длины 2N-1 с элементами над GF(2) может быть представлена в виде Ьп = ^ С^а5", где а есть примитивный элемент
поля GF(qN), а Л есть множество индексов при ненулевых коэффициентах а§ в этом расширении. Линейная сложность последовательности {Ь„} численно равна количеству элементов в этой сумме. Известно [4], что т-последовательность может быть представлена в виде суммы вида
т„=ц"(а-) = |;оГ2, де
с числом членов равным N.
А так как последовательности производной системы получаются в результате поэлементного суммирования по модулю два последовательности GMW со сдвигами m-последовательности, то в силу предыдущего их линейная сложность оказывается ограниченной снизу величиной LGMW - N, а сверху LGMW+N. Теорема доказана.В качестве примера рассмотрим случаи N=10 и N=14. Учитывая, что для N=10 максимальная линейная сложность последовательности GMW равна 140 [7f], а для N=14 соответственно 1232, имеем:
для N=10 140-10=130?Lnp.c^ 140+10=150, Выводы Предложенный метод построения ортогональных производных систем сигналов позволяет получить системы, последовательности которых удачно совмещают большую линейную сложность с удовлетворительными корреляционными параметрами. Данные системы могут быть успешно использованы в системах связи с CDMA, требующих повышенную имито и криптозаіщггу.
для N=14 1232-14=1218