7) Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Случай четных и нечетных функций. -четная;
- нечетная.
1) Произведение двух четных или двух нечетных функций – есть функция четная. 2) Произведение четной на нечетную функций – есть нечетная функция.
3) Функция является четной функцией при любом
. Функция
является нечетной при любом
. Ряд Фурье для функций: 1) Если
четная функция, то
, таким образом ряд Фурье принимает вид:
2) Если
нечетная функция, то
, следовательно, ряд Фурье:
8) Ряд Фурье для функции, заданной на конечном промежутке.
Случай задания функции на произвольном
.
.
Если функция
задана на
или на интервале
и может быть периодичной с периодом
и удовлетворяет в рассматриваемом промежутке условию Дирихле, то функцию
можно представить рядом Фурье бесчисленным числом способов, достраивая его произвольным способом на
и
. Чтобы представить данную функцию в виде разложения по косинусам, нужно заданную функцию на симметричном
доопределить четным образом и вся функция будет четной. Если нужно получить разложение по синусам, нужно заданную функцию на симметричном
доопределить нечетным образом.