25. Нули аналитической функции

1) называется целой, если она аналитична во всей комплексной плоскости

Теорема24 (Лиувилля): если -- целая и ограниченная, то тождественно равна константе

Пусть

Во всей комплексной плоскости .

Если , то при

Поэтому (константа)

2) Функция называется голоморфной (регулярной) в точке , если существует окрестность этой точки, в которой функция раскладывается в степенной ряд

Замечание: понятия голоморфности и аналитичности эквивалентны

3) Нули аналитической функции

Мы будем говорить, что функция в точке -- ноль кратности , если:

, , ,..., ,

Если , мы будем говорить, что функция в точке имеет простой нуль, или нуль первого порядка

Очевидно, что если -- ноль -го порядка, то разложение Тейлора в окрестности этой точки имеет вид: , где

Теорема25: чтобы функция имела в точке нуль -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде: , где , а функция -- аналитична в точке

1) Необходимость: пусть в точке имеет нуль -го порядка, и значит, разложение в ряд Тейлора имеет вид:

2) Достаточность: ,

Тогда

Итак, , ,..., ,

Поэтому -- ноль -го порядка