Ряд Лорана

Теорема. - аналитическая в кольце с центром , то ее можно представить в виде ряда Ларана.

Док-во:

Г

Выберем точку z внутри кольца и окружности и Г (тоже внутри кольца), так чтобы точка z лежала между ними.

1.

2.

Ряд мажорируется рядом Он сходится равномерно и его можно почленно интегрировать.

Если контур С лежит между и Г, то интеграл по С равен интегралу по , т.к.

Опр. В ряде Лорана первая сумма называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма – главной частью.

Следствие1. Правильная часть сходится в круге , а главная часть вне круга радиуса r (т.е. при )

Следствие2. Из доказательства теоремы вытекает, что ряд Лорана находится единственным образом.

Пример1.

-2 0 2

;

Первое слагаемое сходится при , т.е. , т.е. вне малой окружности.

Второе слагаемое сходится при , , т.е. внутри большой окружности.

Таким образом получен ряд Лорана в кольце .

Пример2.

0 2

;

Первое слагаемое сходится при .

Опр. Ряд в области называется рядом в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Утв. Если - аналитическая в окрестности -изолированная особая точка, то в окрестности :

.

Док-во:

,

;