Степенной ряд

Степенным рядом называется ряд вида

,

(9)

где ‑ числовые коэффициенты, ‑ фиксированное число и ‑ переменная.

Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (9) сходится в точке . Множество всех точек , в которых ряд (9) сходится, называют множеством сходимости ряда (9).

Пример 20. Ряд сходится абсолютно при , т.к. при сходится (см. пример 2). Если же , то не стремится к нулю, т.е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости ряда является .

Множество сходимости всякого ряда (9) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т.е.

1. , если такой предел существует.

2. , если такой предел существует.

3. (верхний предел, который существует всегда).

Если в формулах 2. и 3. Пределы равны 0, то . Если пределы равны , то .

Если ‑ конечное число, то промежуток принадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точки и .

Пример 21. Ряд имеет радиус сходимости .

Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала . При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница (см. пример 18). При получаем ряд , который расходится.

Пример 22. Ряд имеет радиус сходимости . Значит, интервал сходимости . Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При получаем ряд , который сходится абсолютно. При получаем ряд , который также сходится. Значит, промежуток сходимости – отрезок .

Если функция в точке имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд

(10)

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции в точке .

Множество сходимости ряда (10) не всегда совпадает с областью определения функции , а его сумма не обязательно равна . Если сумма ряда (10) совпадает с на множестве , то можно написать

(11)

В этом случае говорят, что на множестве разложена в степенной ряд (11).

, .

,

, .

, .

, .

При разложении функций в степенные ряды бывает удобным использовать разложения .

Пример 22. Разложить по степеням функцию .

Если обозначить , то, используя разложение , получаем: .

Поскольку разложение справедливо для , то может быть любым действительным числом.

Пример 23. Разложить по степеням функцию .

Обозначив и использовав разложение , получим .

Это разложение справедливо для , поскольку может быть любым числом.