<<
>>

Степенной ряд

Степенным рядом называется ряд вида

, (9)

где ‑ числовые коэффициенты, ‑ фиксированное число и ‑ переменная.

Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (9) сходится в точке . Множество всех точек , в которых ряд (9) сходится, называют множеством сходимости ряда (9).

Пример 20. Ряд сходится абсолютно при , т.к. при сходится (см. пример 2). Если же , то не стремится к нулю, т.е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости ряда является .

Множество сходимости всякого ряда (9) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т.е.

точкой . Число , равное половине длины промежутка сходимости называют радиусом сходимости. Радиус сходимости ряда (9) может быть вычислен следующим образом.

1. , если такой предел существует.

2. , если такой предел существует.

3. (верхний предел, который существует всегда).

Если в формулах 2. и 3. Пределы равны 0, то . Если пределы равны , то .

Если ‑ конечное число, то промежуток принадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точки и .

Пример 21. Ряд имеет радиус сходимости .

Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала . При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница (см. пример 18). При получаем ряд , который расходится.

Таким образом, промежуток сходимости ряда – полуинтервал .

Пример 22. Ряд имеет радиус сходимости . Значит, интервал сходимости . Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При получаем ряд , который сходится абсолютно. При получаем ряд , который также сходится. Значит, промежуток сходимости – отрезок .

Если функция в точке имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд

(10)

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции в точке .

Множество сходимости ряда (10) не всегда совпадает с областью определения функции , а его сумма не обязательно равна . Если сумма ряда (10) совпадает с на множестве , то можно написать

(11)

В этом случае говорят, что на множестве разложена в степенной ряд (11).

Справедливы следующие разложения:

, .

,

, .

, .

, .

При разложении функций в степенные ряды бывает удобным использовать разложения .

Пример 22. Разложить по степеням функцию .

Если обозначить , то, используя разложение , получаем: .

Поскольку разложение справедливо для , то может быть любым действительным числом.

Пример 23. Разложить по степеням функцию .

Обозначив и использовав разложение , получим .

Это разложение справедливо для , поскольку может быть любым числом.

<< | >>
Источник: Гринберг А.С., Кастрица О.А., Скуратович Е.А.. Высшая математика. Курс лекций. Часть II: Курс лекций. ‑ Мн.:Академия управления при Президенте Республики Беларусь,2003. – 213 с.. 2003

Еще по теме Степенной ряд:

  1. § 3. Степени вины
  2. Степенные премии.
  3. Былое противостояние в значительной степени преодолено и в сфере идеологии.
  4. Степенная книга .
  5. § 62. Разложение функций в степенной ряд, Применение стеленных рядон
  6. §11.Формы субъективной оценки качества и формы степеней сравнения прилагательных
  7. §13.Значения аналитических форм превосходной и сравнительной степени
  8. Производная показательно– степенной функции.
  9. 5.Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
  10. 6. Свойства степенных рядов.
  11. 4.3. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
  12. §3. Степенные функции
  13. 7.3. Степенные ряды.
  14. Степенной ряд
  15. Степенные ряды
  16. Степенная функция
  17. 7. Степенные ряды. Теорема Адамара