Степенной ряд
Степенным рядом называется ряд вида
, | (9) |
где ‑ числовые коэффициенты, ‑ фиксированное число и ‑ переменная.
Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (9) сходится в точке . Множество всех точек , в которых ряд (9) сходится, называют множеством сходимости ряда (9).
Пример 20. Ряд сходится абсолютно при , т.к. при сходится (см. пример 2). Если же , то не стремится к нулю, т.е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости ряда является .
Множество сходимости всякого ряда (9) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т.е.
точкой . Число , равное половине длины промежутка сходимости называют радиусом сходимости. Радиус сходимости ряда (9) может быть вычислен следующим образом.1. , если такой предел существует.
2. , если такой предел существует.
3. (верхний предел, который существует всегда).
Если в формулах 2. и 3. Пределы равны 0, то . Если пределы равны , то .
Если ‑ конечное число, то промежуток принадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точки и .
Пример 21. Ряд имеет радиус сходимости .
Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала . При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница (см. пример 18). При получаем ряд , который расходится.
Таким образом, промежуток сходимости ряда – полуинтервал .Пример 22. Ряд имеет радиус сходимости . Значит, интервал сходимости . Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При получаем ряд , который сходится абсолютно. При получаем ряд , который также сходится. Значит, промежуток сходимости – отрезок .
Если функция в точке имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд
(10) |
Этот ряд называется рядом Тейлора для функции в точке .
Множество сходимости ряда (10) не всегда совпадает с областью определения функции , а его сумма не обязательно равна . Если сумма ряда (10) совпадает с на множестве , то можно написать
(11) |
В этом случае говорят, что на множестве разложена в степенной ряд (11).
Справедливы следующие разложения:, .
,
, .
, .
, .
При разложении функций в степенные ряды бывает удобным использовать разложения .
Пример 22. Разложить по степеням функцию .
Если обозначить , то, используя разложение , получаем: .
Поскольку разложение справедливо для , то может быть любым действительным числом.
Пример 23. Разложить по степеням функцию .
Обозначив и использовав разложение , получим .
Это разложение справедливо для , поскольку может быть любым числом.