Модель обслуживания машинного парка

До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность X входящего потока заявок не зависит от состояния системы.

Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина может обслуживаться только одним механиком. Здесь машины явля-ются источниками требований (заявок на обслуживание), а механики — обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и становится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность X зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N — к) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания (к).

В рассматриваемой модели емкость источника требований следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - к)9 которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N — к) находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсив-

ностью X независимо от других объектов; общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность (N — к) . X. Требование, поступившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из каналов не станет свободным.

Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.

Состояние SK системы характеризуется общим числом требований, находящихся на обслуживании и в очереди, равным к.

Если X — интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то

Хь —

(N - к)-X 0N,

кц, 0 N.

Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим об-разом:

О = -pNP0 + Рх;

(3.40)

О = (N - к + - [(N - к)р + к}Рк + (к + \)РМ 0 Решая данную систему, находим вероятность к-то состояния:

N1- р*

¦Рп

1 < А: < А,

(3.41)

Д =

k\{N-k)\ N1- рк

¦Рп RR\ Rk~R (N-k)\

N

Величина Р0 определяется из условия нормирования 2^=1

к=0

полученных результатов по формулам (3.41) для Рь к — 1,2, ..., N. Определим следующие вероятностные характеристики системы: среднее число требований в очереди на обслуживание

N

(3.42)

Lg=l (k-R)Pk ;

k-R

среднее число требований, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди)

Ls=ZkPk; (3.43)

R=1

среднее число механиков (каналов), простаивающих из-за отсутствия работы

_ R-1

(3.44)

к=0

коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди

Lq

(3.45)

коэффициент использования объектов (машин)

'V

(3.46)

а2 =1-

N

коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)

„,-EL. (3-47)

3 " R '

среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания в очереди)

W Л

1 X

J_

ц'

1-а2

«2 .

(3.48)

Пример 3.6. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производи-тельности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера — пуассоновский с интенсивностью X = 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону.

Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:

оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 2, N = 10;

каждый из двух инженеров обслуживает по пять закреплен-ных за ним ПК. В этом случае R = 1, N = 5.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.

Решение

Вычислим параметр обслуживания

Ц = і = ^ = 0,8.

Приведенная интенсивность

н ц 0,8

Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух вариантов организации обслуживания ПК.

Вариант 1 • Определим вероятности состояний системы:

.ЛП-р

л

¦Ро.

1 k\iN-k)\ N\pk

•Р0 R?kRlRk-R(N-k)\

10'0 25і Pl=iiЩ.0 25'Л и 2!-2 (10-2)! Ю' О 253

РЪ = 7 Ро =2,812-^о;

2!-2 -(10-3)!

W.0 25Ч .^.д.

2!-2 -(10-4)!

Ш.025Н

2!-2 -(10-5)!

2!-2 -(10-6)! ' iwh'-л „0,577,fo;

2!-2 (10-7)! 21-2 -(10-8)!

=0,054 /fo;

2!-2 (10-9)! 10!-0,2510 • А

їоі «—аоот./ь.

2!-2 -(10-10)!

N

• Учитывая, что Е Д =1» и используя результаты расчета РК, к=0

вычислим Pq: N

X РК = /{j +2,5-/{) +2,812-PQ +2,81-/ft + ...+0,007-/{) =1.

Откуда Р0 = 0,065, тогда

Р{ я 0,162; Р2 я 0,183; Р3 - 0,182; Р4 « 0,160; Р5 - 0,11; Р6 я 0,075; Р7 я 0,037; Р8 я 0,014; Р9 я 0,003; Р10 я 0,000.

Определим среднее число компьютеров в очереди на обслуживание:

Е (k-R)-Pk =

k=R

= 0 + (3 - 2) • 0,182 + (4 - 2) • 0,160 + (5 - 2) • 0,11 + (6 - 2) . . 0,075 + (7 - 2) • 0,037 + (8 -2) • 0,014 + (9 - 2) • 0,003 = = 0,182 + 0,32 + 0,33 + 0,3 + 0,185 + 0,084 + 0,021 = 1,42.

Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):

N

As = Z Л • = к-\

= 1 . РХ + 2 • Р2 + 3 • РЪ + 4 . Р4 + 5 • Р5 + 6 • Р6 + 7 • P-j + + 8 • РВ + 9 • Р9 + 10 • Р10 = = 0,162 + 2 • 0,183 + 3 • 0,182 + 4 • 0,16 + 5 .

Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за от-сутствия работы:

_ R-1

Z (Л-АО-/^ =(2-0)-/>о +(2-1)-/>і =2 -0,065 + 1 0,162 = 0,292. к=0

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий:

Lq 1,42

Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитывается так:

„Jt-afs-w*

Среднее время ожидания ПК обслуживания

w =1

9 х

1-а2 «2

_I = _L 1-0,689 1 ц 0,2' 0,689 0,8 ' ЧаС'

Вариант 2

Определим вероятности состояний системы:

1 N\p k\{N-k)l'P°

N\pk

P0 RR\Rk~R(N-k)\

(5-1)!

P> =

p0=I,25P0;

5!0,25

2 IM'-'.C-?)!^

A =

•P0 =0,938 P0;

5!-0,25 (5-3)!

•P0=0,469 i>0;

5!0,254 (5-4)!

P5= 5! • 0,25 • P0 = 0,117 • PQ; 5

? PK=P0 +1,25 P0 +1,25 P0 + 0,938 Pq +0,469 P0 +0,117 Р0 =1-

k=0

Откуда P0 = 0,199, тогда

PI = 0,249; P2 = 0,249; РГ » 0,187; P4 = 0,093; P5 = 0,023. Среднее число компьютеров в очереди на обслуживание таково:

Lq=hk-R).Pk = k=R

= (2 - 1) • 0,249 + (3 - 1) • 0,187 + (4 -1) • 0,093 + (5 - 1) • 0,023 = 0,994. 110

Среднее число компьютеров, находящихся на обслуживании и в очереди, рассчитывается так: N

??= ? кРк=Р1+2Р2+ЗР3+4Р4+5Р5 = к=1

= 0,249 + 2 • 0,249 + 3 • 0,187 + 4 • 0,093 + 5 • 0,023 = 1,8.

Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:

Яп=ъ\и-к).Рк=(1-0уР0 =0,199. к-0

0,994

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди:

5

- = 0,199.

Коэффициент использования компьютеров:

= 0,64.

=1-

vb

а2 =1-

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:

...i.fiS.ft,»

W -

YVq 1] (1-аО 1 _ 1 (1-0,64") UJ 1 «2 J 0,2' { 0,64 J Среднее время ожидания ПК обслуживания:

= 1,56 час.

1

0,8

Сведем полученные результаты по двум вариантам в следую-щую таблицу: Итоговые вероятностные характеристики Варианты 1 2 а, 0,142 0,199 а2 0,689 0,64 «3 0,146 0,199 Wv час. 1,01 1,56

Таким образом, в варианте 1 каждый компьютер стоит в очереди в ожидании начала его обслуживания приблизительно 0,142 части рабочего времени, что меньше этого показателя при варианте 2 организации работ. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК в любой момент времени будет работать выше, чем в варианте 2, и равна а12 = 0,689 > а22 = 0,64. Очевидно, вариант 1 организации работ по обслуживанию ПК эффективнее, чем вариант 2.