2.6. Математическая модель человеко-машинного комплекса или информационного центра

d^=f(t,x,y),

dt

где f - некоторая функция аргументов (t, x, y); t - время.

В общем случае данное уравнение является нелинейным, в частном, часто применяемом случае, функция:

f(t, x, y) = at + bx + cy, (2.42)

где а, b, с - постоянные коэффициенты. Тогда уравнение (2.42) принимает вид

dx

— = at + bx + cy. (2.43)

dt

На практике часто используются более экономичные средства описания динамических свойств элементов и систем, например, передаточные функции. Передаточной функцией элемента называется отношение изображения Х(р) выходной величины x(t) к изображению Y(p) входной величины y(t) при нулевых начальных условиях, т. е. передаточная функция для элемента системы получается следующим образом:

dx dx

— = -bx + cy или + bx = cy. (2.44)

dt dt

Используя символ р для отображения операции дифференцирования, получим, что

d

Р = — dt

Тогда выражение (2.44) можно записать в виде px + bx = cy, которое по смыслу аналогично уравнению в изображениях.

рХ(р) + bX(p) = cY(p), (2.45)

либо то же самое

(p + b)-X(p) = cY(p).

Образуя отношение изображений X(p)/Y(p), получим то, что в теории управления называется передаточной функцией элемента системы:

W(p) = X(p)/Y(p) = c/(p + b). (2.46)

В более общем случае, когда поведение системы описывается линейным уравнением высокого порядка или системой уравнений n-го порядка, передаточная функция системы имеет вид полинома:

W(p) = CmPm + Cm-1Pm-1...C1P0 + C0 = Q(P) (247)

bnPn + bn-1Pn-1 +...

где

CmPm + Cm-1pm-1...C1P + Co = Q(p);

bnPn + bn-1Pn-1 +... + b1P + bo = P(P).

Передаточная функция системы является дробно-рациональной функцией аргумента р, а свойства системы отображаются коэффициентами полиномов.

Математические модели собственно объекта управления из-за высокой аб-стракции дифференциальных уравнений будут описывать всю систему. Таким образом, появляется возможность описывать все типы объектов управления с помощью дифференциальных уравнений вида

dx

—L = fi(t, x1,..., xn, u1,..., uY, v1,..., vm), ueU, УЄ V, i=1,..., n, (2.48)

dt

где x = (x1,..., xn) - вектор выходных величин объекта управления; u = (u1,..., uY) - вектор входных управляющих величин; v = (v1,..., vm) - вектор входных воз-мущающих величин; U - диапазон изменения управляющих величин; V - диапазон изменения возмущающих величин [23].

Математическая модель достоверно отражает поведение объекта управления на временном интервале ТЄ (0, t) при изменении выходных параметров системы в области хє Х и параметров среды УЄ V. Например, с помощью передаточной функции можно оценить эффективность ЧМК, которая является важной его характеристикой.

Рассмотрим конкретный пример представления объекта управления в виде математической модели. Так, наиболее важным фактором, определяющим его эффективность, является техническое состояние парка машин. Пусть технический парк СВТ состоит из большого числа ^-однородных приборов (ПК). Математическая модель состояний каждого прибора формализует взаимосвязь следующих состояний: s1 - прибор исправен; s2 - неисправен, осматривается, s3 - признан негодным, списан, s4 - ремонтируется.

Состояние всего парка машин и периферийных устройств определяют эффективность работы всего комплекса.

Математическая модель описывает взаимосвязь средних численностей mi приборов, находящихся в i-м состоянии, в форме дифференциальных уравнений следующего вида:

dm1 . m4

1 = -1m1 + 4—+ u1;

dt 1 f(m4) 1

dms m

""ГТ" = Plосм ¦ m2;

dt , (2.49)

dm2

dt

dm4 = - m

^T = - f(m4)

2 = -1 осм ¦ m2 +1-m1;

4 = ^ + (1 - P)1 осм ¦ m2 + U4,

где X - интенсивность потока неисправностей работающего прибора;

Хосм=1Аосм - интенсивность потока выявления неисправных приборов;

t^M - среднее время осмотра (трудозатраты);

Р - вероятность того, что неисправный прибор будет списан;

(1-Р) - вероятность того, что он направляется в ремонт;

f(m4) - функция, характеризующая среднее время нахождения прибора (машины) в состоянии ремонта, зависящая от количества машин, находящихся в ремонте;

u1 - интенсивность пополнения системы исправленными машинами (в состоянии s1);

u2 - интенсивность пополнения ремонтной мастерской неисправными устройствами.

Таким образом, u1-u4 - это управляющие воздействия на объект управления, образованный руководителем с его ремонтно-эксплуатационной службой.