<<
>>

3.2. Определение характеристик систем массового обслуживания

Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшая одноканальная модель. Такой моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания.

При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

A(t) = le-Xt, (3.1)

где X — интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

№ = (3.2)

где [і — интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 3.1), у которого имеются два состояния: — канал свободен (ожидание);

Si — канал занят (идет обслуживание заявки).

и

Рис. 3.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний: P0(t) — вероятность состояния «канал свободен»; Px(t) — вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу состояний (рис. 3.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

dP0(t)

dt (3.3)

a t

Система линейных дифференциальных уравнений (3.3) имеет решение с учетом нормировочного условия P0(t) + /^(ґ) = 1. Реше-ние данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

= (3.4)

и А+ц А + ц

Px(t) = 1 - P0(t). (3.5)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, Р0 — вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно т.

е.

q = P0(t)• (3.6)

По истечении большого интервала времени (при t оо) достигается стационарный (установившийся) режим:

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

А = Хд = ^~. (3.8)

Л + ц

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

'«-'М-'Ь-'-х^-зйг <«>

Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример 3.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей Я = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

относительной пропускной способности q\

абсолютной пропускной способности А\

вероятности отказа Ротк.

Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение

Определим интенсивность потока обслуживания:

Вычислим относительную пропускную способность:

ц 0,555

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А = А • q = 1 • 0,356 = 0,356.

Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

Вероятность отказа:

Лтс = 1 ~ 9 = 1 - 0,356 = 0,644.

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

Определим номинальную пропускную способность системы:

Люм =? ~~~ 0,555 (автомобилей в час).

1 = 1 'обсл

°'555~1,5

\

больше, чем фак-

Оказывается, что Аном в 1,5 раза

0,356

тическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Одноканальная СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание — простейший поток с интенсивностью А. Интенсивность потока обслуживания равна ц, (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать ц обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассо- новским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более ТУ-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий за-явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 3.2.

X X X X X X

^^zzz^zizlQizi::: ::: 5=2®

и ц її її її її

Рис. 3.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

— канал свободен;

— канал занят (очереди нет);

— канал занят (одна заявка стоит в очереди);

Sn - канал занят (п - 1 заявок стоит в очереди);

іSN — канал занят (N — 1 заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

-р*Ь+/1=0, л = 0;

(3.10)

-{1-р)Рп+Рп+\+рРя-\=09 0-PN+pPN-l =0, n = N,

п — номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (3.10) для нашей модели СМО имеет вид

(3.11)

1 Р . -р", Р*1, /1 = 0,1,2,..., N

Тогда

Р0-р" р*1, /1 = 1,2,..., ЛГ,

Следует отметить, что выполнение условия стационарности * і

р = — < 1 для данной СМО необязательно, поскольку число допу- И

скаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N — 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.

е. не отношением Л/Н* ~ Р-

Определим характеристики одноканалъной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N — 1): вероятность отказа в обслуживании заявки:

(3.13)

относительная пропускная способность системы:

(3.14)

абсолютная пропускная способность:

(3.15)

А = q X;

среднее число находящихся в системе заявок:

N

' Р*1 (3.16)

LS=2nP„ =

(l-p).(l-p"+1) N/2, р = 1;

среднее время пребывания заявки в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

Wq=Ws- 1/W (3.18)

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

Lq = Л(1 - PN)Wq. (3.19)

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример 3.2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(N — 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже нахо-дится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность X = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

Параметр потока обслуживаний автомобилей:

„.i.^. 0,952.

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей X и ц, т. е.

Я=_0185_ = к ц 0,952 '

Вычислим финальные вероятности системы:

Р 1-Р 1-0.893

Л) = Х77Г ~ Г = 0,248,

1-0,893

Р, = рР0 = 0,893 • 0,248 = 0,221 Р2 = р2Р0= 0.8932 • 0,248 = 0,198 Р2 = р3Р0= 0.8933 • 0,248 = 0,177 Р4 = р4Р0= 0,8934 • 0,248 = 0,158.

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

= =РЧ = 0,158.

Относительная пропускная способность поста диагностики:

q = 1 - Ртк = 1 - 0,158 = 0,842.

Абсолютная пропускная способность поста диагностики

А = X ¦ q = 0,85 • 0,842 = 0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е.

в системе массового обслуживания):

l-(N + l)pN +NpN+l

LS = 0,893

(l-p)(l-p"+1)

l-(4 + l) 0,8934 +4 0,8935

= 1,77.

(1—0,893)-(l — 0,893 )

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

1,77

Ws =

= 2,473 часа.

А?

X(l-PN) 0,85(1-0,158)

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

Wq= Ws- 1/ц = 2,473 - 1/0,952 = 1,423 часа.

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Lq = X(l - PN) Wq = 0,85 • (1 - 0,158) • 1,423 = 1,02.

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк = 0,158).

Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. N —»<*>). Остальные условия функцио-нирования СМО остаются без изменений.

Стационарный режим функционирования данной СМО существует при t —» ©о для любого п = О, 1, 2, ... и когда А < ц. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t —» ©о для любого п = 0, 1,2, ..., имеет вид

(3.20)

-АРо+цР! =0, п = 0 ХРп-\ + іхРп+1 -(А + =0, п > 0.

Решение данной системы уравнений имеет вид

Рп = (1 - р) р", л = 0, 1, 2, ..., (3.21)

где р = А/ц < 1.

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

Ls=ZnPn=-?-; (3.22)

п=0 1-р

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

среднее число клиентов в очереди на обслуживании: средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

Пример 3.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 3.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероят-ностных характеристик:

вероятности состояний системы (поста диагностики);

среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение

Параметр потока обслуживания ц, и приведенная интенсивность потока автомобилей р определены в примере 3.2:

їх = 0,952; р = 0,893.

Вычислим предельные вероятности системы по формулам Л) = 1 Л = (1 Рг = (1 Рз = 0 Ра = (1 = (1 - р) р = - р) р2 =

Р) Р = -р)р4 =

Р) Р5 =

0,893)

0,893)

0,893)

0,893)

0,893)

0,893 = 0,107;

0,893 = 0,096; 0,8932 = 0,085; 0,8933 = 0,076; 0,8934 = 0,068; 0,893 = 0,061 и т.

д.

Следует отметить, что Р0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как Р0 = 0,107.

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):

0,893

= 8,346 ед.

1-р 1-0,893

4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

= 9,817 час.

w -Ls - 1 1

5 X [ц(1-р)] [0,952-(1-0,893)]

0,893

Lq = Ls-- =

= 7,453.

їх (1-р) (1-0,893)

Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

ЖдаГ8-766 ™'

Относительная пропускная способность системы:

<7=1,

т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность:

А = Xq = 0,85 • 1 = 0,85.

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 3.2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:

т = X PN.

В нашем примере при N=3 + 1 = 4 и р = 0,893,

т = Х Р0 р4 = 0,85 • 0,248 • 0,8934 = 0,134 автомобиля в час.

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 • 0,134 = 1,6 автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомоби-лей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

<< | >>
Источник: Бережная Е.В., Бережной В.И.. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика,2006. - 432 е.. 2006

Еще по теме 3.2. Определение характеристик систем массового обслуживания:

  1. 3.2. Планирование информационных потоков по лабораториям информационного центра
  2. 2.2. Обзор методов и моделей прогнозирования развития социально-экономических систем
  3. 2.3. Методика расчета характеристик перевозочного процесса доставки нефтепродуктов в сети «Нефтебаза - АЗС» с использованием принципа «точно-во-время»
  4. 4.2. Модель теории массового обслуживания применительно к определению количества сервисных центров для обслуживания модульных котельных
  5. 2.2.2 Определение размеров зон потенциального сбыта продукции
  6. Глава 3Моделирование систем массового обслуживания
  7. 3.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания
  8. 3.2. Определение характеристик систем массового обслуживания
  9. 4.2. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
  10. 4.2.ОРГАНИЗАЦИЯОБСЛУЖИВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
  11. ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ МУЛЬТИПРОЦЕССОРНЫХ СИСТЕМ С ОБЩЕЙ И ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ПАМЯТЬЮ
  12. Содержание дисциплины