<<
>>

6. Заряды. Теорема Радона—Никодима

Определение 5. Пусть S — s-алгебра с едини­цей X, а Ф — счетно аддитивная действительнозначная функция на М. Тогда Ф называется зарядом.

Определение 6. Пусть заряд Ф задан на s-алгебре S с единицей Х и множество А ÎS.

Тогда множество А называется по­ложительным (отрицательным) относительно Ф, если для лю­бого множества В ÎS, В Ì А выполнено неравенство Ф(В) ? 0 (Ф(В) £ 0).

Отметим, что для пустого множества в силу аддитивности заряда Ф(?) = 0, и пустое множество одновременно является положительным и отрицательным.

Лемма 5. Пусть Ф — заряд на s-алгебре S с еди­ницей X, и пусть существует такое множество В ÎS, что Ф(В) < 0. Тогда найдется отрицательное множест­во Во ÎS, Во Ì В, Ф(В0) < 0.

Доказательство. Если для любого A ÎS и А Ì В имеем Ф(А) £ 0, то В само отрицательно. Пред­положим, что l(В) = > 0. Сначала предположим, что l(В) = +¥. Тогда можно выбрать измеримое множество А1 Ì В так, что Ф(А1) > 1. При этом если В1 = В\А1, то Ф(В1) < Ф(В) < 0. Если l(В1) < ¥, то процесс заканчивается, а если нет, то мож­но выбрать измеримое А2 Ì В1 так, что Ф(А2) > 1, и т. д. Предположим, что процесс этот бесконечен. Тогда мы получим последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств А1, А2,... с Ф(Аk) > 1 при k = 1, 2,... Но в этом случае , и мы приходим к противоречию (заряд по определению должен всюду на S принимать конечные значения). Поэтому для некоторого k по­лучим, что l(Вk) < ¥, причем Ф(Bk) < 0. В этом случае будем искать удовлетворяющее условиям леммы множество В0 среди измеримых подмножеств множества Вk. В дальнейшем, не огра­ничивая общности, считаем, что 0 < l(В) l(В)/2, и пусть В1 = В\А1. Тогда Ф(В1) < Ф(В) и l(В1) < l(В)/2. Если l(В1) = 0, то можно взять B0 = B1, в противном случае можно повторить изложенную выше операцию. В итоге либо на некотором шаге будет найдено отрицательное подмножест­во В, либо мы построим цепочку таких вложенных измеримых множеств В E В1 E В2 E ..., что Ф(Вj + 1) < Ф(Вj) и l(Bj) £ l(B)/2j при j = 1, 2,... В этом случае можно взять .

Напомним (теорема 3.4), что заряд счетно аддитивен тогда и только тогда, когда он непрерывен: Ф(В0) = Ф(Вn). Тогда Ф(В0) < Ф(В), а из неравенства l(Bj) £ l(B)/2j следует, что не существует из­меримого множества А Ì В0 с Ф(А) > 0.

Теорема 19. Пусть Ф –заряд на s-алгебре S с еди­ницей X. Тогда существует такое множество А+ ÎS, что оно положительно, а множество А_ = Х\А+ – отрица­тельно относительно заряда Ф.

Представление X = А+ + А_ называется разложением Хана заряда Ф.

Доказательство. Обозначим множество всех отри­цательных множеств A ÎS через S_ и положим . Будем считать, что a –¥).

Докажем, что множество А+ = Х\А_ положительно. Если это не так, то существует измеримое В Ì А+ с Ф(В) < 0. Соглас­но лемме 5, можно выбрать отрицательное множество В0 Ì В с Ф(В0) < 0. Но в этом случае множество С = А_ + В0 отрица­тельно и Ф(С) 0 и В положительно относительно заряда yn = Ф .

Доказательство. Пусть X = A+(i) + A_(i) – разло­жение Хана относительно заряда yi, где i = 1, 2,... При этом можно считать, что А+(1) Ì А+(2) Ì ... Далее, пусть и . Очевидно, что X = А+ ÈА_. Тогда для любого m имеем ym(А_) 0, а следовательно, и m(А+) > 0. Согласно свойству непрерывности меры найдется такое n, что m(А+(n)) > 0. Но по определе­нию множество А+(n) положительно относительно заряда yn, что и завершает доказательство.

Теорема 20 (Радона—Никодима). Пусть (X, S, m) — s-конечное из­меримое пространство, а Ф — за­ряд на S, абсолютно непрерывный относительно меры m. Тогда существует такая интегрируема по Лебегу функция f(x), что для любого А ÎS справедливо равенство

.

При этом если для некоторой другой интегрируемой функции g(x) равенство также выполняется для всех А ÎS, то f(x) = g(x) почти всюду относительно меры m.

Доказательство. Благодаря наличию разложения Жордана, достаточно доказать теорему для случая, когда Ф – мера. Сначала рассмотрим случай m(Х) < ¥. Определим множество

.

Пусть также . Тогда найдется такая последовательность {fn(x)} Ì F, что . Определим при n = 1, 2, … и хÎХ функцию gn(x) = . Тогда по следствию 2 леммы 4.1 gn(x) измерима на X, а поскольку , то и интегрируема при всех п. Проверим, что gn(x)Î F. Неотри­цательность этой функции очевидна. Далее, в силу определения функции gn(x) ее можно представить в виде

, где X = .

Отсюда для любого А ÎS имеем

,

т. е. действительно gn(x)Î F. Заметим, что функции {gn(x)} образуют неубывающую на X последовательность. Определим функцию f(x) = . Поскольку при п = 1, 2,... £ S, то по теореме 13 о монотонной сходимости функция f(x) интегрируема и конечна почти всюду на X. Так как , то и функция f(x)Î F. Кроме того,

,

откуда .

Теперь рассмотрим заряд l(А) = Ф(А) – для любого А ÎS. Этот заряд, очевидно, неотрицателен (т. е. является s-аддитивной мерой) и абсолютно непрерывен относительно меры m. Предположим, что заряд l не равен тождественно нулю. Тогда по лем­ме 7 найдутся такое n и такое множество В ÎS, что m(В) > 0 и для любого измеримого А Ì В имеем , т. е. . Определим функцию h(x) = при x ÎX. Тогда для любого АÎS имеем

Поэтому h(x) ÎF, в то время, как

Полученное противоречие показывает, что l = 0 на S, и для случая конечного измеримого пространства доказатель­ство существования завершено.

Пусть теперь X = , где m(En) < ¥ при n = 1, 2, … Согласно уже рассмотренному случаю, для каждого n найдется такая интегрируемая на En функция fn(x), что для любого множества А ÎSÇ En = Sn

. (4)

Заметим, что все функции fn(x) неотрицательны на области сво­его определения. Продолжим их нулем на все множество X и по­ложим . Тогда

,

откуда следует интегрируемость на Х функции f(x). Нужное нам равенство сразу выте­кает из равенств (4) и счетной аддитивности заряда..

Проверим единственность с точностью до почти всюду по­строенной функции. Если для любого А ÎS

,

то, обозначая X1 = {xÎX: f(x) > g(x)} и Х2 = {х Î X: f(x) < g(х)}, получим, что

.

Последнее равенство возможно, только если m(Х1) = 0. Анало­гично, m(Х2) = 0, и теорема Радона—Никодима полностью до­казана.

<< | >>
Источник: Функциональный анализ. Лекции. 2017

Еще по теме 6. Заряды. Теорема Радона—Никодима:

  1. 6. Заряды. Теорема Радона—Никодима