6. Заряды. Теорема Радона—Никодима

Определение 5. Пусть S — s-алгебра с едини­цей X, а Ф — счетно аддитивная действительнозначная функция на М. Тогда Ф называется зарядом.

Определение 6. Пусть заряд Ф задан на s-алгебре S с единицей Х и множество А ÎS.

Отметим, что для пустого множества в силу аддитивности заряда Ф(?) = 0, и пустое множество одновременно является положительным и отрицательным.

Лемма 5. Пусть Ф — заряд на s-алгебре S с еди­ницей X, и пусть существует такое множество В ÎS, что Ф(В) < 0. Тогда найдется отрицательное множест­во В_о ÎS, В_о Ì В, Ф(В₀) < 0.

Доказательство. Если для любого A ÎS и А Ì В имеем Ф(А) £ 0, то В само отрицательно. Пред­положим, что l(В) = > 0. Сначала предположим, что l(В) = +¥. Тогда можно выбрать измеримое множество А₁ Ì В так, что Ф(А₁) > 1. При этом если В₁ = В\А₁, то Ф(В₁) < Ф(В) < 0. Если l(В₁) < ¥, то процесс заканчивается, а если нет, то мож­но выбрать измеримое А₂ Ì В₁ так, что Ф(А₂) > 1, и т. д. Предположим, что процесс этот бесконечен. Тогда мы получим последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств А₁, А₂,... с Ф(А_k) > 1 при k = 1, 2,... Но в этом случае , и мы приходим к противоречию (заряд по определению должен всюду на S принимать конечные значения). Поэтому для некоторого k по­лучим, что l(В_k) < ¥, причем Ф(B_k) < 0.

Напомним (теорема 3.4), что заряд счетно аддитивен тогда и только тогда, когда он непрерывен: Ф(В₀) = Ф(В_n). Тогда Ф(В₀) < Ф(В), а из неравенства l(B_j) £ l(B)/2^j следует, что не существует из­меримого множества А Ì В₀ с Ф(А) > 0.

Теорема 19. Пусть Ф –заряд на s-алгебре S с еди­ницей X. Тогда существует такое множество А₊ ÎS, что оно положительно, а множество А_ = Х\А₊ – отрица­тельно относительно заряда Ф. Представление X = А₊ + А_ называется разложением Хана заряда Ф.

Доказательство. Обозначим множество всех отри­цательных множеств A ÎS через S_ и положим . Будем считать, что a –¥).

Докажем, что множество А₊ = Х\А_ положительно. Если это не так, то существует измеримое В Ì А₊ с Ф(В) < 0. Соглас­но лемме 5, можно выбрать отрицательное множество В₀ Ì В с Ф(В₀) < 0. Но в этом случае множество С = А_ + В₀ отрица­тельно и Ф(С) 0 и В положительно относительно заряда y_n = Ф .

Доказательство. Пусть X = A₊(i) + A_(i) – разло­жение Хана относительно заряда y_i, где i = 1, 2,... При этом можно считать, что А₊(1) Ì А₊(2) Ì ... Далее, пусть и . Очевидно, что X = А₊ ÈА_. Тогда для любого m имеем y_m(А_) 0, а следовательно, и m(А₊) > 0. Согласно свойству непрерывности меры найдется такое n, что m(А₊(n)) > 0. Но по определе­нию множество А₊(n) положительно относительно заряда y_n, что и завершает доказательство.

Теорема 20 (Радона—Никодима). Пусть (X, S, m) — s-конечное из­меримое пространство, а Ф — за­ряд на S, абсолютно непрерывный относительно меры m. Тогда существует такая интегрируема по Лебегу функция f(x), что для любого А ÎS справедливо равенство

.

При этом если для некоторой другой интегрируемой функции g(x) равенство также выполняется для всех А ÎS, то f(x) = g(x) почти всюду относительно меры m.

Доказательство. Благодаря наличию разложения Жордана, достаточно доказать теорему для случая, когда Ф – мера. Сначала рассмотрим случай m(Х) < ¥. Определим множество

.

Пусть также . Тогда найдется такая последовательность {f_n(x)} Ì F, что . Определим при n = 1, 2, … и хÎХ функцию g_n(x) = . Тогда по следствию 2 леммы 4.1 g_n(x) измерима на X, а поскольку , то и интегрируема при всех п.

, где X = .

Отсюда для любого А ÎS имеем

,

т. е. действительно g_n(x)Î F. Заметим, что функции {g_n(x)} образуют неубывающую на X последовательность. Определим функцию f(x) = . Поскольку при п = 1, 2,... £ S, то по теореме 13 о монотонной сходимости функция f(x) интегрируема и конечна почти всюду на X. Так как , то и функция f(x)Î F. Кроме того,

,

откуда .

Теперь рассмотрим заряд l(А) = Ф(А) – для любого А ÎS. Этот заряд, очевидно, неотрицателен (т. е. является s-аддитивной мерой) и абсолютно непрерывен относительно меры m. Предположим, что заряд l не равен тождественно нулю. Тогда по лем­ме 7 найдутся такое n и такое множество В ÎS, что m(В) > 0 и для любого измеримого А Ì В имеем , т. е. .

Поэтому h(x) ÎF, в то время, как

Полученное противоречие показывает, что l = 0 на S, и для случая конечного измеримого пространства доказатель­ство существования завершено.

Пусть теперь X = , где m(E_n) < ¥ при n = 1, 2, … Согласно уже рассмотренному случаю, для каждого n найдется такая интегрируемая на E_n функция f_n(x), что для любого множества А ÎSÇ E_n = S_n

. (4)

Заметим, что все функции f_n(x) неотрицательны на области сво­его определения. Продолжим их нулем на все множество X и по­ложим . Тогда

,

откуда следует интегрируемость на Х функции f(x). Нужное нам равенство сразу выте­кает из равенств (4) и счетной аддитивности заряда..

Проверим единственность с точностью до почти всюду по­строенной функции. Если для любого А ÎS

,

то, обозначая X₁ = {xÎX: f(x) > g(x)} и Х₂ = {х Î X: f(x) < g(х)}, получим, что

.

Последнее равенство возможно, только если m(Х₁) = 0. Анало­гично, m(Х₂) = 0, и теорема Радона—Никодима полностью до­казана.