7. s-аддитивность прямого произведения мер. Теорема Фубини

Обозначим через X = Х₁´Х₂ прямое произведение пространств X₁ и Х₂. Каждая точка х = (x₁, х₂) этого пространства X является упорядоченной парой некоторых точек х_i пространств X_i, i = 1, 2.

Если в пространстве X_i (i = 1, 2) задано полукольцо множеств P_i, то через P = P₁´P₂ будем обозначать произведение полуколец. По лемме 3.1 эта система множеств является полукольцом в пространстве X.

Предположим, что заданы меры m_i на полукольцах P_i множеств пространств X_i, i = 1, 2. Тогда функция множества m = m₁´m₂ определенная на системе P множеств пространства X по формуле

m(А) = m₁(А₁)m₂(А₂), A = A₁´А₂

называется прямым произведением мер m_i.

Теорема 21. Пусть m_i – счетно-аддитивные меры, заданные на полукольцах P_i, i = 1, 2.

Тогда функция множества m = m₁´m₂ опреде­ленная на системе P = P₁´P₂ является счетно-аддитивной мерой.

Доказательство. Рассмотрим счетную сумму множеств

A, A_i Î P₁, B, B_i Î P₂.

Рассмотрим полукольцо P₁ÇА с единицей А. Тогда m₁ является счетно-аддитивной мерой на P₁ÇА. В соответствии с теоремой 3.10 мы можем построить продолжение этой меры на s-алгебру измеримых множеств S₁. Обозначим это продолжение через l₁. Определим функции h_i(x₁) = m₂(B_i)(x₁), i = 1, 2, … Эта функция является простой на А.

.

Кроме того,

< ¥.

Так как все функции, входящие в сумму неотрицательные и, следовательно, частичные суммы монотонно возрастают, можно в последнем равенстве поменять местами интеграл и сумму (теорема о монотонной сходимости)

.

Следовательно, функция множества m = m₁´m₂ на P является счетно-аддитивной мерой.

Определение 9. Мера m в пространстве X, которая получается в результате стандартного продолжения пря­мого произведения мер m = m₁´m₂ с полукольца P = P₁´P₂ на s-алгебру S измеримых множеств с единицей X называется произведением мер.

Далее мы считаем, что меры m₁ и m₂ заданы на s-алгебрах S₁ и S₂ и произведение этих мер m = m₁´m₂ задано на s-алгебре S и является продолжением с S₁´S₂.

Прежде чем мы сможем в полном объеме доказать теоре­му Фубини, установим некоторые ее частные случаи. Предва­рительно введем такое обозначение. Если множество Е Ì X = Х₁´Х₂, то при любом х Î Х₁ обозначим через Е(х) Ì Х₂ соответствующее сечение, т.

Аналогично, при любом у ÎХ₂ определяется сечение Е(у) ÌХ₁.

Теорема 22. Пусть меры m₁ и m₂ s-конечны и пол­ны, m = m₁´m₂, множество Е ÎS и m(Е) 0 функция f (kx) интегрируема на отрезке [0, a/k] и

.

8. Пусть функция f (x) измерима на множестве Е конечной меры. Доказать, что существует положительная измеримая на Е функция j(х) такая, что произведение f (x)? j(х) интегрируемо на Е.

9. Привести пример функции f (x), которая непрерывна на промежутке (a, b], имеет сходящийся несобственный интеграл Римана (R), но не является интегрируемой по Лебегу на (a, b).

10. Пусть - последовательность измеримых на Е ограниченных неотрицательных функций. Пусть ® 0 при n ® ¥. Следует ли из этого, что f_n(x) ® 0 при n ® ¥ всюду или хотя бы почти всюду на Е?

11. Построить на каком-либо множестве Е конечной меры последовательность ограниченных измеримых функций , сходящуюся почти всюду на Е к функции j, которая не интегрируема на Е.

12. Доказать, что измеримая на множестве Е конечной меры неотрицательная функция f (x) и нтегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда сходится ряд , где E_k = E{ f (x) ? k}

13. Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке (a, b]. Доказать, что если функция f (x) интегрируема по Лебегу на отрезке [a, b], то существует несобственный интеграл в обычном смысле на этом отрезке и его значение совпадает со значением интеграла Лебега.

14. Доказать, что существует функция f (x) непрерывна на промежутке (a, b], для которой несобственный интеграл на отрезке [a, b] сходится, а интеграл Лебега на этом отрезке не существует.

15. Пусть f (x) – измеримая функция, определенная на множестве Е конечной меры. Определим срезки функции

.

Назовем Q-интегралом функции f (x) следующий предел (если он существует)

.

Доказать, что функция f (x) интегрируемая по Лебегу на Е также Q-интегрируема и интегралы равны.

16. Привести пример не интегрируемой по Лебегу функции, у которой Q-интеграл существует.

17. Доказать, что для неотрицательной измеримой функции f (x) из существования Q-интеграла вытекает интегрируемость по Лебегу функции f (x).

18. Доказать, что любая измеримая нечетная на отрезке [-a, a] функция f (x) Q-интегрируема на этом отрезке.

19. Справедливо ли утверждение: если измеримая функция f (x) Q-интегрируема на множестве Е, то она Q-интегрируема на любом его измеримом подмножестве?

20. Справедливо ли утверждение: если измеримая функция f (x) Q-интегрируема на множестве Е, то функция с f (x) также Q-интегрируема на множестве Е и справедливо равенство

?

21. Справедливо ли утверждение: если измеримые функции f (x) и g(x) Q-интегрируемы на множестве Е, то функция f (x) + g(x) также Q-интегрируема и справедливо равенство

.

22. Справедливо ли утверждение: если измеримые функции f (x), g(x) и f (x) + g(x) Q-интегрируемы на множестве Е, то справедливо равенство

.

23. Пусть на отрезке [а, b] задана конечная вещественная функция f (x). Разобъем отрезок [а, b] на части точками x₀ = a < x₁ < …< x_n = b и составим сумму

.

Точная верхняя грань всевозможных сумм V называется полной вариацией функции f (x) на отрезке [а, b] и обозначается . Если полная вариации f (x) конечна, то функция называется функцией ограниченной вариации. Доказать, что любую функцию ограниченной вариации можно разложить на разность двух невозрастающих функций.

24. Показать, что функция ограниченной вариации f (x), непрерывная слева, определяет равенством v([с, d)) = f (d) - f (c) заряд на полукольце P₁Ç[а, b] (см. глава 3).