Объемный заряд электронного газа

В силу того что концентрация электронов в вакууме на много порядков меньше, чем в эмиттирующем их катоде, то среднее расстояние между электронами в вакууме (d = n–1/3 » 10–6 м) оказывается много больше их дебройлевской длины волны (l » 10–9 м).

В частности, рассмотрим влияние нескомпенсированного отрицательного заряда электронного газа (объемного заряда) в межэлектронном промежутке вакуумного диода на распределение потенциала и величину тока.

Плотность тока G, объемный заряд r = –пе и скорость электронов v связаны следующим соотношением [1]:

(П8)

Кроме того, величина потенциала определяется уравнением Пуассона

(П9)

Наконец, исходя из энергетических соображений, можно получить соотношение между скоростью электронов и локальной величиной потенциала j(x, у, z)

(П10)

Для простоты рассмотрим одномерный случай, т.е. будем считать, что оба электрода представляют собой очень большие плоскопараллельные пластины, находящиеся на расстоянии d, а система координат расположена таким образом, что напряженность поля зависит только от х. Ось х перпендикулярна поверхности пластин и на катоде х = 0. Тогда уравнение (П9) принимает вид

(П11)

используя выражения (П8) и (П10), получаем:

(П12)

Этому дифференциальному уравнению удовлетворяет степенной закон изменения потенциала

Подставляя это решение в уравнение (П12), получаем:

(П13)

Чтобы это соотношение выполнялось при всех значениях х, показатели степени при х в обеих частях уравнения должны быть равны друг другу. Таким образом, n – 2 = –n/2 и, следовательно, n = 4/3.

откуда следует, что неизвестная величина К определяется соотношением

Для изменения потенциала в зависимости от х получаем

(П14)

Потенциал катода, где х = 0, очевидно, равен нулю. Если обозначить потенциал анода через U, то можно получить вольт-амперную характеристику (ВАХ) вакуумного диода

Подставляя численные значения постоянных, находим

(П15)

(G, А/м2; U, В; d, м).

Формула (П15) представляет собой так называемый «закон трех вторых». Можно показать, что соотношение G ~ U3/2 выполняется для любой конфигурации электродов, при этом меняется только коэффициент, стоящий при U3/2.

Проведенные выше расчеты вольт - амперной характеристики вакуумного диода с учетом влияния объемного заряда выполнены в предположении, что электроны, покидающие катод, обладают нулевой скоростью, поскольку при х = 0 потенциал j = 0 и, следовательно, v = 0. Однако в действительности электроны, эмиттируемые накальным катодом, обладают энергией порядка 1 эВ. Поэтому характеристика, описываемая формулой (П15), является лишь некоторым приближением. В принципе можно учесть начальную скорость электронов, однако это приводит к очень сложным расчетам.

Рентгеновская трубка также является вакуумным диодом, поэтому для нее справедливы все вышеприведенные выводы.

Литература к приложению

Мирдель Г. Электрофизика. -М.: Мир, 1972.- 608 с.

2. Фридрихов С.А., Мовнин С.М. Физические основы электронной техники: Учеб. для вузов. - М.: Высш. шк., 1982. - 608 с.