Объемный заряд электронного газа
В силу того что концентрация электронов в вакууме на много порядков меньше, чем в эмиттирующем их катоде, то среднее расстояние между электронами в вакууме (d = n–1/3 » 10–6 м) оказывается много больше их дебройлевской длины волны (l » 10–9 м).
Поэтому электронный газ в вакууме не вырожден, и к нему можно применять все соотношения, справедливые для классического газа с распределением Больцмана.В частности, рассмотрим влияние нескомпенсированного отрицательного заряда электронного газа (объемного заряда) в межэлектронном промежутке вакуумного диода на распределение потенциала и величину тока.
Плотность тока G, объемный заряд r = –пе и скорость электронов v связаны следующим соотношением [1]:
(П8)
Кроме того, величина потенциала определяется уравнением Пуассона
(П9)
Наконец, исходя из энергетических соображений, можно получить соотношение между скоростью электронов и локальной величиной потенциала j(x, у, z)
(П10)
Для простоты рассмотрим одномерный случай, т.е. будем считать, что оба электрода представляют собой очень большие плоскопараллельные пластины, находящиеся на расстоянии d, а система координат расположена таким образом, что напряженность поля зависит только от х. Ось х перпендикулярна поверхности пластин и на катоде х = 0. Тогда уравнение (П9) принимает вид
(П11)
используя выражения (П8) и (П10), получаем:
(П12)
Этому дифференциальному уравнению удовлетворяет степенной закон изменения потенциала
Подставляя это решение в уравнение (П12), получаем:
(П13)
Чтобы это соотношение выполнялось при всех значениях х, показатели степени при х в обеих частях уравнения должны быть равны друг другу. Таким образом, n – 2 = –n/2 и, следовательно, n = 4/3.
Кроме того, должно выполняться соотношение
откуда следует, что неизвестная величина К определяется соотношением
Для изменения потенциала в зависимости от х получаем
(П14)
Потенциал катода, где х = 0, очевидно, равен нулю. Если обозначить потенциал анода через U, то можно получить вольт-амперную характеристику (ВАХ) вакуумного диода
Подставляя численные значения постоянных, находим
(П15)
(G, А/м2; U, В; d, м).
Формула (П15) представляет собой так называемый «закон трех вторых». Можно показать, что соотношение G ~ U3/2 выполняется для любой конфигурации электродов, при этом меняется только коэффициент, стоящий при U3/2.
Проведенные выше расчеты вольт - амперной характеристики вакуумного диода с учетом влияния объемного заряда выполнены в предположении, что электроны, покидающие катод, обладают нулевой скоростью, поскольку при х = 0 потенциал j = 0 и, следовательно, v = 0. Однако в действительности электроны, эмиттируемые накальным катодом, обладают энергией порядка 1 эВ. Поэтому характеристика, описываемая формулой (П15), является лишь некоторым приближением. В принципе можно учесть начальную скорость электронов, однако это приводит к очень сложным расчетам.
Рентгеновская трубка также является вакуумным диодом, поэтому для нее справедливы все вышеприведенные выводы.
Литература к приложению
Мирдель Г. Электрофизика. -М.: Мир, 1972.- 608 с.
2. Фридрихов С.А., Мовнин С.М. Физические основы электронной техники: Учеб. для вузов. - М.: Высш. шк., 1982. - 608 с.