4.1. Математическое ожидание критерия близости гистограмм

В связи с тем, что анализируемый сигнал Рщ(х,у)91 = {В,Т} является случайным, значения гистограммы = построенной по выборке из

этого сигнала, также будут носить случайный характер. Как было показано выше, закон распределения значений соответствует биномиальному, параметры которого определяются выражениями:

м[/щ{р)]=т, (4.1)

и Исходя из вышеизложенного, значение = {#,'/'} будет носить

также

случайный характер.

Оценим величину при / = к, где / и к

- соответственно индексы классов, для которых считаются значения критерия Ф(.) согласно соотношению (2.32).

Для дальнейших рассуждений обозначим оценку плотности распределения значений сигнала Р^ (*,>'), являющегося отдельной реализацией, статистика которой определяется эталонной гистограммой /к. С учетом (2.31) (4.3)

м [ф* [f(k))]=и j [ffa (Г) - 2/w (/») • Л (/<) + f} (/'))-ос Меняя местами знаки операций математического ожидания и интегрирования, после упрощения выражения (4.3) с учетом (4.1), получим: (4.4)

мЬЫ]=I H'w^H^K

-оо Элементы, стоящие под знаком суммирования в выражении (4.4) соответствуют значениям дисперсии значений

И/м и] -м [f® С)]-и* [/«И] <4-5>

Таким образом, с учетом выражения (4.2) и (4.5)

(4.6)

В случае, когда / * к (4.7)

м [ф* (Aw)]:¦ ¦м 1 ifi<) С)" Ч) (р)' Л (р) * л2

-СО Меняя местами знаки операций математического ожидания и суммирования с учетом того, что

00

4Ф*М]= \{M[f®ip)[-Wp)-h{p)+fiip'typ- с-9)

-со

Выражая из (4.5) с учетом (4.1):

м

[ф* (/(„)]=

х (4-Ю)

-ОС

После упрощения полученного выражения, окончательный результат примет вид:

V (4.11)

00

+

-ОО

Полученные в (4.6) и (4.11) результаты могут послужить основой для оценки значения разности значений математических ожиданий

для м°Дели изображений, введенной в главе 2.

В этом случае закон распределения fk соответствует нормальному, математические ожидания для целевого и нецелевого классов равны соответственно тт и тв, а среднеквадратичное отклонение для обоих классов одинаково и равно ае.

Отсюда следует вывод о справедливости равенств

со оо -oo -co

оо oo

j Л И • (1 ¦- Л (ф!> - J f, (Р\¦ (I ¦- /, (Р))ЛР-,

(4.12)

J ft (/>)= I f,2(l')dr. -00 -00

и, следовательно, величина искомой разности определяется по выражению:

00

Ч^ЫгЧ^Ы]- )m-mf*p с-13)

-00

При раскрытии формулы квадрата разности в последнем выражении, перемене мест операций интегрирования и суммирования, а также с учетом второго равенства (4.12) оно преобразуется к виду:

Чф*ЫМф*М-

00 00 (4.14)

= 2\fi{P)il>-2\fl{P)-fk(P)iP.

Выражение (4.14) состоит из двух слагаемых. Целесообразно проанализировать значение каждого из них по отдельности, чтобы далее оценить значение всего выражения.

Слагаемое 1. Подставив в первое слагаемое значения функции плотности распределения для нормального закона, получим: tl Р,

(4.15)

2 ]/,2 (/>)-оо при выполнении замены переменной и = (Р-т,)/ае с учетом того, что

J exp^-w2 |(1м = л/я и dР = ае dw, первое слагаемое будет равно:

-00

(4.16)

2j/,2(/>)d/>~ 1

-<50

Слагаемое 2. При подстановке значений fi(P) и j\ (Р) значение рассматриваемого слагаемого составит 2Л

(P-m,f + (P-mt)

d Р. (4.17)

г/ЛИ-ЛИ^-^/вр

с -00 Далее, после раскрытия квадратов разностей в числителе показателя экспоненциальной функции и вынесения за знак интеграла константы, выражение (4.17) составит:

2 ]/,(Р)Л(Р)Л1> = ' —оо

7ГСГ

2 с

-ехр

d Р.

J ехр

1

2Р2-2Р(т, + тк) 2а>

г 2 . 2 х Щ +тк

(4.18

-00

Введение в показателе экспоненциальной функции двух слагаемых

(т{ + тк)1>/2 с противоположными знаками позволит выделить в показателе

экспоненты полный квадрат. Тогда значение рассматриваемого слагаемого будет равно 2 ^

2 2\ т, + тк

(пц+щ)

{ехр

d/\

техр

ехр

(j2P-(ml + mk)/yl2f

Я<7,

е У

-00

2а' Далее, вычислим значение второго слагаемого по аналогии с первым. По-

и с учетом того, что

У2Р-(т, + тк)/у12

еле введения новой переменной и =

2а„ ( ( \ 2\ ч 1 2ст< J / (1 /' = сг, (к/, значение второго слагаемого в выражении (4.14) примет вид:

1

оо

(4.19)

2 J //(/>),Л(/>)4,/> = —т=ехР Таким образом, значение искомой разности с учетом выражений (4.16) и (4.19) составит:

-л . (4.20)

1 - ехр

Щ-Щ

\ 2(5 е J Найденное значение разности математических ожиданий (4.6) и (4.11) позволит в дальнейших исследованиях оценить степень эффективности использования квадратичного критерия близости с точки зрения снижения вероятности пропуска «цели» и ложной тревоги.

<< | >>
Источник: СОКОЛОВ Василий Алексеевич. ГИСТОГРАММНЫЙ АНАЛИЗ ТЕПЛОВИЗИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ. 2007

Еще по теме 4.1. Математическое ожидание критерия близости гистограмм:

  1. 1.3.2 Математическая формулировка задачи обработки навигационных измерений навигационного приемника при потере свойств целостности СРНС
  2. ВВЕДЕНИЕ
  3. 2.6. Выводы по главе
  4. 3.3. Оценка рациональных размеров апертуры обработки изображений
  5. 4.1. Математическое ожидание критерия близости гистограмм
  6. 4.3. Оценка качества алгоритма идентификации состояния сцены на основе энтропийого критерия
  7. 4.4. Выводы по главе
  8. 5.2. Анализ статистических характеристик реальных тепловизионных изображений
  9. 5.3.2. Анализ результатов работы алгоритма с реалъншли изображениями
  10. 5.4. Вычисление квадратичного критерия близости
  11. 5.7. Выводы