2.3.1. Основные схемы логически правильных рассуждений
Приведем примеры наиболее употребимых схем логически правильных рассуждений (некоторые их них приведем без пояснений) (табл. 62):
Таблица 62
№ | |||
1 | Правило заключения – утверждающий модус (Modus Ponens) | Если из высказывания А следует высказывание В и справедливо (истинно) высказывание А, то справедливо В | |
2 | Правило отрицания – отрицательный модус (Modus Tollens) | Если из А следует В, но высказывание В неверно, то неверно А | |
3 | Правила утверждения-отрицания (Modus Ponendo-Tollens) | Если справедливо или высказывание А, или высказывание В (в разделительном смысле) и истинно одно из них, то другое ложно | |
4 | Правила отрицания-утверждения (Modus Tollen-Ponens) | Если истинно или А, или В (в разделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое | |
Если истинно А или В (в неразделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое | |||
5 | Правило транзитивности | Если из А следует В, а из В следует С, то из А следует С | |
6 | Закон противоречия | Если из А следует В и , то неверно А | |
7 | Правило контрапозиции | Если из А следует В, то из того, что неверно В, следует, что неверно А | |
8 | Правило сложной контрапозиции | Если из А и В следует С, то из А и следует | |
9 | Правило сечения | Если из А следует В, а из В и С следует D, то из А и С следует D | |
10 | Правило импортации (объединения посылок) | ||
11 | Правило экспортации (разъединения посылок) | ||
12 | Правила дилемм | ||
Пример 52.
Следующие рассуждения не являются правильными:
.
2.3.2.
Метод ВонгаПусть дана клауза в своей наиболее общей форме:
В1, В2, …, Вn ? А1, А2, …,An
Шаг 1. Снятие отрицаний с посылок и заключений. С этой целью нужно опустить знак отрицаний у Ai и Bj и перенести их в противоположные стороны относительно символа ?.
Шаг 2. Если слева от символа ? встречается конъюнкция, а справа дизъюнкция, то их следует заменить на запятые.
Шаг 3. Если после предыдущих шагов оказалось, что связкой, расположенной слева от ?, является дизъюнкция, а справа – конъюнкция, то образуются две новые клаузы, каждая из которых содержит одну из двух подформул, заменяющих исходную клаузу.
Шаг 4. Если одна и та же буква находится с обеих сторон символа?, то такая строка считается доказанной. Исходная клауза является теоремой, если все ветви оканчиваются истинными клаузами. В противном случае переходим к шагу 3.
Пример 53.
Выяснить, является ли клауза теоремой:
.
Решение.
Шаг 1. .
Избавляемся от отрицаний. В результате получаем: .
Шаг 2. Поскольку слева от символа ? не встречается конъюнкция, а справа не встречается дизъюнкция, то шаг 2 как таковой отсутствует.
Шаг 3. Построим дерево доказательств (рис. 11):
Так как есть не доказанные строки, то исходная клауза теоремой не является.
Пример 54.
Выяснить, является ли клауза теоремой:
.
Решение.
Представим ход доказательства в виде дерева (рис. 12). Поскольку все строки доказаны, то исходная клауза является теоремой.