2.3.1. Основные схемы логически правильных рассуждений

Приведем примеры наиболее употребимых схем логически правильных рассуждений (некоторые их них приведем без пояснений) (табл. 62):

Таблица 62

№
1	Правило заключения – утверждающий модус (Modus Ponens)	Если из высказывания А следует высказывание В и справедливо (истинно) высказывание А, то справедливо В
2	Правило отрицания – отрицательный модус (Modus Tollens)	Если из А следует В, но высказывание В неверно, то неверно А
3	Правила утверждения-отрицания (Modus Ponendo-Tollens)	Если справедливо или высказывание А, или высказывание В (в разделительном смысле) и истинно одно из них, то другое ложно
4	Правила отрицания-утверждения (Modus Tollen-Ponens)	Если истинно или А, или В (в разделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое
		Если истинно А или В (в неразделительном смысле) и неверно одно из них, то истинно другое
5	Правило транзитивности	Если из А следует В, а из В следует С, то из А следует С
6	Закон противоречия	Если из А следует В и , то неверно А
7	Правило контрапозиции	Если из А следует В, то из того, что неверно В, следует, что неверно А
8	Правило сложной контрапозиции	Если из А и В следует С, то из А и следует
9	Правило сечения	Если из А следует В, а из В и С следует D, то из А и С следует D
10	Правило импортации (объединения посылок)
11	Правило экспортации (разъединения посылок)
12	Правила дилемм

Пример 52.

Следующие рассуждения не являются правильными:

.

2.3.2.

Пусть дана клауза в своей наиболее общей форме:

В1, В2, …, Вn ? А1, А2, …,An

Шаг 1. Снятие отрицаний с посылок и заключений. С этой целью нужно опустить знак отрицаний у Ai и Bj и перенести их в противоположные стороны относительно символа ?.

Шаг 2. Если слева от символа ? встречается конъюнкция, а справа дизъюнкция, то их следует заменить на запятые.

Шаг 3. Если после предыдущих шагов оказалось, что связкой, расположенной слева от ?, является дизъюнкция, а справа – конъюнкция, то образуются две новые клаузы, каждая из которых содержит одну из двух подформул, заменяющих исходную клаузу.

Шаг 4. Если одна и та же буква находится с обеих сторон символа?, то такая строка считается доказанной. Исходная клауза является теоремой, если все ветви оканчиваются истинными клаузами. В противном случае переходим к шагу 3.

Пример 53.

Выяснить, является ли клауза теоремой:

.

Решение.

Шаг 1. .

Избавляемся от отрицаний. В результате получаем: .

Шаг 2. Поскольку слева от символа ? не встречается конъюнкция, а справа не встречается дизъюнкция, то шаг 2 как таковой отсутствует.

Шаг 3. Построим дерево доказательств (рис. 11):

Так как есть не доказанные строки, то исходная клауза теоремой не является.

Пример 54.

Выяснить, является ли клауза теоремой:

.

Решение.

Представим ход доказательства в виде дерева (рис. 12). Поскольку все строки доказаны, то исходная клауза является теоремой.