§ 3. Формально-логическая и гипотетическая геометрия.
Третья геометрия - это гипотетически-формальная" . Ее формула: "если, то потому".
Очевидностью аксиом она не заинтересована, она исследует не формы и не пространство, а логическую схему, в которую укладываются пространственные положения.
Она интересуется не тем, что доказывается, а тем, как доказывается. Она заинтересована не узлами логической сети, а самой этой сетью.К такой геометрии склоняется всякая геометрия, старающаяся вы- дерлсать логическую строгость и чистоту формально-логических построений. Было бы неправильно совершенно отвергать эту точicy зрения в школьной геометрии. По мере роста геометрического образования учащегося, он должен все глубже проникать в конструкцию доказательств, все яснее представлять себе эту логическую сеть. На общую методическую задачу о степени проникновения школьной геометрии этой точки зрения составляющий учебник должен обратить внимание.
Я уже выше отметил, что эта третья геометрия, даже как научная геометрия, не единственна. Но я должен отметить, что формально-гипотетическая геометрия не во всей чистоте является такой. Она должна совершенно освободиться от тех целей, которые ставятся геометрией, изучающей формы, или геометрией, изучающей пространства.
Очевидные положения Р, Q, R... не дол ясны иметь с ее точки зрения больше цены, чем неочевидные, из них извлекаемые. Задачи о логической сети не будут вполне исследованы, если мы будем знать пути, ведущие от Р, Q, R... кР', Q', К'..., но не будем знать путей, ведущих обратно отР', Q',R'... к Р, Q, R. Мы должны указать не только наименьшее число из Р, Q, R..., достаточное для построения системы геометрии, но также и наименьшее число из Р', Q', R', пригодное для этой цели.
Но и в том случае, если после такого исследования, относящегося к Р, Q, R..., мы провели бы его в отношении к Р', Q', R'... мы, все-таки, не освободились бы от зависимости от очевидных положений, логическая сеть оказалась бы действительно исследованной во всех направленнях, но только таїсія, которая прикреплена кР, Q, R...
Мы можем мыслить ие только Р' Q', R'.... получаемые из очевидных положений Р, Q, R..., но и Р', Q', R'..., не получаемые из них и, конечно, начиная с них сеть, мы получаем иное.
Но откуда мы должны выбирать такие положения:
P',Q',R'
P",Q",R"..V
Конечно, из тех, которые выводятся из Р, Q, R.., Нам ничего не остается, кроме интуиции. Мы приходим к парадоксальному выводу о зависимости гипотетической формальной геометрии от геометрии интуитивной,