§ 2. Учение о пространстве и рационалистическая геометрия.
Вторым типом геометрии я выдвигаю учение о пространстве5. Такая геометрия может быть уподоблена разве только общей биологии, исследующей, что такое жизнь. Здесь уже совсем определенно должно выступить требование дедуктивиости вывода.
Признаем ли мы аксиомы за простые очевидные истины или будем считать их за результат индукции? Мы вначале, как Евклид ', должны все их собрать и выводить из них как следствие другие свойства силлогистически.Правда, мы будем проходить через те теоремы, которые находим в наглядной геометрии, относящиеся к треугольнику и т.д., но фокус внимания будет не в них, а в том, что характеризует пространство: в общих преобразованиях, в инвариантах этих преобразований и т.д.
В качестве аксиом будут выдвигаться не случайные положения, а только те, которые выражают основную структуру пространства.
Возможна ли такая геометрия в школе? Частично ие только воз-можна, но и должна быть.
Во всяком случае этой точкой зрения должен определяться в некоторой мере подход к аксиомам, которые в начале обучения могут большей частью оставаться в скрытом состоянии, но затем должны быть выявлены.
Аксиомы пс должны выбираться по степени их очевидности или по большей легкости опытной проверки, но, с другой стороны, к ним в школе не должны предъявляться требования, которые ставятся формально-логической геометрией.
Можно сказать, что совершенно так же, как учение о формах облекается в наглядную геометрию, учение о пространстве становится рационалистической геометрией3.
Рационалистическая геометрия настолько же логична, как философия рационалистов Декарта6 и Спинозы7. Облечение таких выводов в символическую форму математической логики является совершенно невозможным. Чисто формально-логического аппарата в ней нет. Оперируют они с ие вполне ясными понятиями. Признаки вещей, о которых в них говорит-ся, не выявлены в их определениях полностью.
Они выступают уже в ходе самого рассуждения, и положения, к ним относящиеся, вовсе не всегда выводятся силлогистически из определенных, наперед высказанных постулатов. Они в ходе рассуждения выступают или с достаточной очевидностью, или с такой степенью ее, которая повышается с помощью особых приемов, состоящих, главным образом, в пояснении признаков, к которым они относятся.Как на примеры таких философско-геометрических рассуждений, можно указать на рассуждения Рассела8 в его "Основаниях геометрии" или Дельбсфа9. о которых ниже будем говорить.
Имеет ли научное значение такая рационалистическая геометрия? Не должна ли ее совершенно вытеснить та, которая старается осуществить чистоту своих логических выводов, вовсе ие стараясь начинать с общих характерных свойств пространства, а просто стараясь убедить в геометрических истинах, путем формально-логических выводов из возмолено меньшего числа специальных и мало характерных неочевидных положений? Рационалистическая геометрия дает ответы на вопрос "почему", решает ту проблему, которую не берется решать формально-логическая геометрия, которая пока еще не превратилась в гипотетическую, а только старается убедить, что это так.
В истории геометрического учебника мы находим жаркие споры о доказательствах: "почему это так" и "это так", о неестественных и есте-ственных доказательствах10. Конечно, неформально-логическая геометрия стремится к выявлению причин, т.е. 1с построению естественных доказательств, но которые не могут оказаться в смысле формально-логической геометрии безупречными.