§ 4. Равенство
Мы будем говорить теперь о втором из указанных типов геометрии, причем возьмем ее на той ступени, когда она еще ие является определенно выраженным учением о пространстве.
Пространство как ясная концепция еще не выступает в науке.
Геометрия говорит скорее о формах, чем о самом пространстве, но общие принципы, из которых она исходит в своих логических выводах, по существу представляют уже характерные свойства пространства, которые только должны быть облечены в более подходящие формы.Попытка идти именно в таком направлении принадлежит еще Лейбницу12 .
Идя в этом направлении, сильно отклоняясь от Евклида, не следует подробно доказывать даже такие теоремы, как: два треугольника АБС и А'В'С' равны.если
ZA = ZA', В = А'В\ АС = А'С Вместо того чтобы применять метод наложения, подвергаемый нападкам рационалистов, достаточно установить общие принципы: два геометрических объекта Р и О равны, если получаются одинаковым построением, производимым над равными объектами р, р', р" и q, q', q".
При этом равенство не должно быть понимаемо в смысле конгруэнции, т.е. наложимости. Налолсимость - это только следствие равенства, устанавливаемое аксиомой: "Равные объекты при наложении совпадают своими частями
Равные - это во всех отношениях, кроме положения, одинаковые. Мы говорим, что А А'В'С'равен Д ABC , если это та же фигура, но только в другом месте.
Определение это резко отличается от того, которым пользуется ев-клидова геометрій. В последней обьеісг определяется только конечным числом признаков а, Ь, с.
У Евклида наличность а, Ь, с определенно решает то, что данный объект - Р. У Лейбница же определение таково, что нельзя выверить, есть ли данный объект - Р. но ряд признаков а, Ь, с бесконечен и ои ие может быть исчерпан. При выводах же, бесконечное множество а, Ь, с заменяется таким же конечным, но это делается без доказательств.
Так, в треугольнике берутся только углы А, В, С и стороны а, Ь, с.Правда, число признаков, по которому можем судить о равенстве, понижается с помощью теорем, которые доказываются, исходя из общего принципа, выше нами формулированного. Термин "одинаковые" может быть истолкован различно: в смысле Евклида это будут построения только с помощью циркуля и линейки, с точки зрения Лежандра - это какие угодно операции, с помощью которых по данным строится новый объект.
Чтобы показать, каким образом прилагается общий принцип к выводу теорем, возьмем типичный пример.
Почему в двух равных треугольниках медианы равных углов равны?
По Евклиду, следует поступать так: доказывать, что Д AM С = А А'М' С', ибо-
ZA = ZA', АВ = А'В'и AM = А'М'в силу равенства А АВСи Д А'В'С'. Рационалистическая геометрия отвечает: потому, что все построения для получения медиан AM и А'М' в одинаковых треугольниках одинаковы13.
Более сложный пример: в треугольники вписаны круги, центры их соединены с пересечением медиан прямыми ОЕ и О'Е' - если треугольники ABC и А'В'С' равны, то ОЕ = О'Е"4.
Почему? Согласно Евклиду, пришлось бы устанавливать рад пар равных треугольников. Но можно сказать: потом)', что все построения одинаковы.