§3. Подмножество. Равенство множеств

Определение 1. Если каждый элемент множества А содержится и в множестве В, то А называется подмножеством В. Это записывают следующим образом: или .

Необходимо заметить, что, как вытекает из определения 1, само множество всегда является своим подмножеством, т.е. .

Из определения 1 также следует, что пустое множество ? является подмножеством любого множества: ? .

Обычно, когда говорят о множествах, то интересуются только тем, из каких элементов оно состоит, а не думают о порядке расположения элементов. Это обстоятельство находит свое отображение в определении равенства двух множеств.

Определение 2. Два множества А и В называются равными, когда каждый элемент множества А является элементом множества В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики, в частности при определении геометрической фигуры.

Определение 3. Всякое множество точек называется геометрической фигурой.

Для того чтобы отношения между множествами сделать более наглядными, используются специальные чертежи, называемые диаграммами Эйлера–Венна. Множества, сколько бы они не содержали элементов, изображаются при помощи кругов или любых других геометрических фигур. Например, когда множество А является собственным подмножеством множества В, то рисуем эти множества так как на рисунке 2.

Рис. 2

Часто в теории множеств (и других разделах математики и естествознания) используется понятие универсального множества U — множества элементов всех множеств, рассматриваемых в ходе какого–либо рассуждения. На диаграммах Эйлера–Венна универсальное множество U часто изображают в виде прямоугольника, а его подмножества –– кругами.