§ 5. Подобие.
Совершенно таким лее образом рассматривается подобие, которое следует рассматривать, как одинаковость формы при различных размерах.
X. Вольф определяет подобие так: "Подобие есть тождество тех признаков, которыми вещи друг от друга отличаются".
В схолии Вольф дает пояснения: "Возьми, говорит он, две вещи А и В, направь свое внимание на признаки, которые могут наблюдаться в А, и наблюдение запиши. С равным вниманием отметь и признаки В, которые в ней можем распознать. Если теперь окажутся все признаки, отмеченные в А и В, одинаковыми, то вещи А и В окажутся подобными". Но при этом исключен quantitas (размер), который нельзя формулировать в словах. Приведенный общий принцип равенства заменяется у Лейбница следующим:Два объекта Р и Q подобны, если получены подобным построением над подобными объектами.
Это определение содержится в аксиоме Вольфа15: "Если две фигуры или линии одинаковым путем производится, и при том, те элементы, с помощью которых они производятся, подобны, то подобны также эти линии". Необходимо пояснить, что у Вольфа для общих фигур предполагается по одному элементу, подвергающемуся одинаковым операциям.
Эта вольфианская аксиома может лечь в основание теорем подобия, если только признать подобие некоторых геометрических объектов, например, прямолинейных отрезков. Следует заметить, что углы следовало бы считать также подобными объектами.
Но Вольф не признает углы за элементы, а представляет только операциями над отрезками. Тогда в силу подобия отрезков прямых, принимаемых за радиусы двух кругов С, и С2 и вследствие тождественных действий при описании этих кругов и, следовательно, подобия С( и С2, треугольники
А, и Д2 С парой соответственно равных углов Z А, = Z A2,ZB, =ZB2 должны быть признаны подобными, ибо оба производятся с помощью построения в конце отрезков а ( и а2 соответственно равных углов16.
По этой же причине подобны два отрезка с отложенными на их концах равными углами.
Если пересечь две пересекающиеся прямые двумя параллельными, то пары отрезков (а, Ь), (а', Ь'),17 получаемых на сторонах, следует считать, на основании аксиомы Вольфа, подобными, вследствие чего все признаки эти, как и, следовательно, их взаимные зависимости, в частном случае те, которые получаются при их количественном сравнении, одинаковы:
а : а' = b : b'
Отсюда выводится пропорциональность сторон в подобных треугольниках.
Чтобы показать, какое значение имеет аксиома Вольфа, приводим
пример.
Взяв два подобных треугольника ABC и А'В'С' и вписав в них круги, соединяем точки касания со сторонами. Полученные таким образом
треугольники EFQ и E'F'Q' подобны. Почему? Потому, что операции в обоих случаях подобны. А именно производится:
1) деление углов треугольника,
опускание из точки пересечения перпендикуляров на стороны, разлагаемые на элементарные подобные операции,
соединение оснований перпендикуляров прямыми1*.