3.1.2 Условия применения теории подобия

Трудности, встречающиеся при решении многих задач с помощью дифференциальных уравнений с частными производными, заставили искать необходимые решения экспериментальным путём [7, 8].

По опытным данным, которые получены на одном аппарате, делались приблизительные выводы о возможной работе другого, такого же, но более крупного аппарата, что и привело к идее моделирования процессов и аппаратов, и получила своё отражение в теории подобия.

Теория подобия - наука о сходстве явлений.

В случае геометрического подобия двух фигур отношение всех соответствующих размеров этих фигур постоянно. Геометрические фигуры похожи между собой, если их соответствующие углы равны, а сходные стороны пропорциональны, то есть:

, (3.25)

где А - коэффициент пропорциональности, или константа подобия.

Таким образом, условие (3.25) является математической формулировкой геометрического подобия двух фигур (модели и производственного аппарата).

В двух кинематических схемах будет иметь место кинематическая подобность, если их схожие частицы перемещаются по геометрически подобным путям в промежутки времени, отличающиеся постоянным множителем, то есть в данном случае можно говорить о сходстве движения, например двух потоков жидкости. При динамической подобности многоугольники сил, построенные для пары похожих частиц, расположенных подобным образом в пространстве и времени, должны быть подобны, то есть различаться только масштабом. Понятие подобия можно распространить на тепловые и физико-химические процессы.

С использованием этого понятия можно решить много практически важных задач. Но для использования понятий о подобии необходимо найти условия подобия явлений, которые рассматриваются. При этом возникают такие вопросы:

- возможно ли экспериментальные данные, например, такие, которые связаны с температурным полем, полученные путём измерения на одном аппарате (на модели), перенести в точности на другой аппарат (производственный);

- какие должны быть условия, допускающие такой перенос или перерасчёт;

- как следует сделать, чтобы полученные в ходе эксперимента на модели данные были правильно применены для производственного аппарата.

Перенос экспериментальных данных с модели на производственный аппарат возможно в таких случаях, когда существует подобие обоих процессов. Это подобие не должно ограничиваться только геометрическими формами; все другие величины, которые оказывают влияние на процесс, должны в модели и в производственном аппарате находиться в определённых отношениях.

Поиск условий подобия осуществляется следующим образом: сравниваются такие два случая, при которых потоки для всех величин, встречающихся в уравнениях (3.3) - (3.24), подобны.

1. Такими являются координаты x, y, z производственного аппарата, которые относительно x', y', z' модели могут быть равномерно увеличены. Так сопоставляются потоки, которые проходят через геометрически подобные тела или вокруг них. Тогда все отрезки границ потока l₁, l₂, l₃... производственного аппарата, которые отвечают l′₁, l′₂, l′₃... модели, будут увеличены в определённой пропорции:

. (3.26)

Углы между соответствующими отрезками остаются неизменными.

2. Поле скоростей в производственном аппарате и модели должно быть подобным. В соответствующих точках с координатами x ', y', z ' и x, y, z отношение

(3.27)

должно быть одинаковым, и кроме того, направление соответствующих скоростей производственного аппарата и модели должно быть одним и тем же (равенство углов). Так что нельзя пытаться найти подобность между ламинарным и турбулентным потоками, так как распределение скоростей в обоих потоках разное. Можно сравнивать только ламинарные потоки между собой и турбулентные потоки между собой.

3. Следующей важной величиной является температурный градиент . Распределение градиентов должно быть подобным, т.е.

. (3.28)

Из уравнения (3.26) и (3.28) имеем:

(3.29)

где

. (3.30)

После интегрирования уравнения (3.29) получаем:

(3.31)

или

, (3.32)

где температуры и представляют произвольные постоянные интегрирования для соответствующих, но произвольно выбранных точек x′₀ , y′₀ , z′₀ и x₀ , y₀ , z₀. В модели и производственном аппарате температуры и могут быть выбраны, например, у входа в трубопровод или на большом расстоянии от стенки в зависимости от целесообразности. В уравнение подобия температурных полей входят, таким образом, не собственно температуры, а их различия по отношению к температуре выбранной точки.

Из уравнений (3.26), (3.28) и (3.29) следует:

; . (3.33)

Во многих случаях имеет значение соблюдения сходства градиентов концентраций в материальных потоках, проходящих через аппараты. Условия сходства концентрационных и температурных градиентов аналогичные.

4. Статическое давление входит в дифференциальные уравнения в виде градиентов и др.

. (3.34)

5. Подобность полей физических свойств среды обусловливает такие постоянные соотношения для всех соответствующих точек производственного аппарата и модели:

(3.35)

Следует отметить, что при выполнении условий подобия не все масштабные множители (числа) (3.28) - (3.35) могут быть произвольно выбраны. Другие определяются после выбора некоторых немногих основных величин. То есть число независимых масштабных множителей в уравнениях (3.26) - (3.35) может существенно сократиться вследствие дополнительных условий.

Если две системы подобны, то в пределах каждой системы отношение любых похожих величин, характеризующих то или иное состояние, является безразмерным и постоянным для обеих систем. Так, например, физическое состояние одной из систем характеризуется некоторыми величинами R₁ , R₂ ,…, R_n, а другой подобной системы - величинами r₁ , r₂ ,…, r_n. Тогда условие сходства требует равенства:

. (3.36)

То есть отношение похожих величин в одной системе равно их отношению в подобной системе. Эти постоянные безразмерные отношения называются инвариантами подобия и обозначаются символом і.

Инварианты подобия, которые являются отношением простых однородных величин, например, линейных размеров l/d, давлений p₁/p₂, вязкостей μ₁/μ₂ и т. п., называются симплексами подобия.

В основе теории подобия лежат три теоремы, которые формулируются следующим образом:

І теорема. Если физические процессы подобны друг другу, одноименные критерии подобия этих процессов имеют одинаковую величину.

ІІ теорема. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть представлены в виде функциональной связи между критериями подобия.

ІІІ теорема. Для того чтобы физические процессы были подобны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы эти процессы были качественно одинаковы, а их одноименные определяющие критерии - численно одинаковы.