<<
>>

3.1.2 Условия применения теории подобия

Трудности, встречающиеся при решении многих задач с помощью дифференциальных уравнений с частными производными, заставили искать необходимые решения экспериментальным путём [7, 8].

По опытным данным, которые получены на одном аппарате, делались приблизительные выводы о возможной работе другого, такого же, но более крупного аппарата, что и привело к идее моделирования процессов и аппаратов, и получила своё отражение в теории подобия.

Теория подобия - наука о сходстве явлений.

В случае геометрического подобия двух фигур отношение всех соответствующих размеров этих фигур постоянно. Геометрические фигуры похожи между собой, если их соответствующие углы равны, а сходные стороны пропорциональны, то есть:

, (3.25)

где А - коэффициент пропорциональности, или константа подобия.

Таким образом, условие (3.25) является математической формулировкой геометрического подобия двух фигур (модели и производственного аппарата).

В двух кинематических схемах будет иметь место кинематическая подобность, если их схожие частицы перемещаются по геометрически подобным путям в промежутки времени, отличающиеся постоянным множителем, то есть в данном случае можно говорить о сходстве движения, например двух потоков жидкости. При динамической подобности многоугольники сил, построенные для пары похожих частиц, расположенных подобным образом в пространстве и времени, должны быть подобны, то есть различаться только масштабом. Понятие подобия можно распространить на тепловые и физико-химические процессы.

С использованием этого понятия можно решить много практически важных задач. Но для использования понятий о подобии необходимо найти условия подобия явлений, которые рассматриваются. При этом возникают такие вопросы:

- возможно ли экспериментальные данные, например, такие, которые связаны с температурным полем, полученные путём измерения на одном аппарате (на модели), перенести в точности на другой аппарат (производственный);

- какие должны быть условия, допускающие такой перенос или перерасчёт;

- как следует сделать, чтобы полученные в ходе эксперимента на модели данные были правильно применены для производственного аппарата.

Перенос экспериментальных данных с модели на производственный аппарат возможно в таких случаях, когда существует подобие обоих процессов. Это подобие не должно ограничиваться только геометрическими формами; все другие величины, которые оказывают влияние на процесс, должны в модели и в производственном аппарате находиться в определённых отношениях.

Поиск условий подобия осуществляется следующим образом: сравниваются такие два случая, при которых потоки для всех величин, встречающихся в уравнениях (3.3) - (3.24), подобны.

1. Такими являются координаты x, y, z производственного аппарата, которые относительно x', y', z' модели могут быть равномерно увеличены. Так сопоставляются потоки, которые проходят через геометрически подобные тела или вокруг них. Тогда все отрезки границ потока l1, l2, l3... производственного аппарата, которые отвечают l′1, l′2, l′3... модели, будут увеличены в определённой пропорции:

. (3.26)

Углы между соответствующими отрезками остаются неизменными.

2. Поле скоростей в производственном аппарате и модели должно быть подобным. В соответствующих точках с координатами x ', y', z ' и x, y, z отношение

(3.27)

должно быть одинаковым, и кроме того, направление соответствующих скоростей производственного аппарата и модели должно быть одним и тем же (равенство углов). Так что нельзя пытаться найти подобность между ламинарным и турбулентным потоками, так как распределение скоростей в обоих потоках разное. Можно сравнивать только ламинарные потоки между собой и турбулентные потоки между собой.

3. Следующей важной величиной является температурный градиент . Распределение градиентов должно быть подобным, т.е.

. (3.28)

Из уравнения (3.26) и (3.28) имеем:

(3.29)

где

. (3.30)

После интегрирования уравнения (3.29) получаем:

(3.31)

или

, (3.32)

где температуры и представляют произвольные постоянные интегрирования для соответствующих, но произвольно выбранных точек x′0 , y′0 , z′0 и x0 , y0 , z0. В модели и производственном аппарате температуры и могут быть выбраны, например, у входа в трубопровод или на большом расстоянии от стенки в зависимости от целесообразности. В уравнение подобия температурных полей входят, таким образом, не собственно температуры, а их различия по отношению к температуре выбранной точки.

Из уравнений (3.26), (3.28) и (3.29) следует:

; . (3.33)

Во многих случаях имеет значение соблюдения сходства градиентов концентраций в материальных потоках, проходящих через аппараты. Условия сходства концентрационных и температурных градиентов аналогичные.

4. Статическое давление входит в дифференциальные уравнения в виде градиентов и др.

По аналогии с температурным полем можно написать условия подобия для поля давления:

. (3.34)

5. Подобность полей физических свойств среды обусловливает такие постоянные соотношения для всех соответствующих точек производственного аппарата и модели:

(3.35)

Следует отметить, что при выполнении условий подобия не все масштабные множители (числа) (3.28) - (3.35) могут быть произвольно выбраны. Другие определяются после выбора некоторых немногих основных величин. То есть число независимых масштабных множителей в уравнениях (3.26) - (3.35) может существенно сократиться вследствие дополнительных условий.

Если две системы подобны, то в пределах каждой системы отношение любых похожих величин, характеризующих то или иное состояние, является безразмерным и постоянным для обеих систем. Так, например, физическое состояние одной из систем характеризуется некоторыми величинами R1 , R2 ,…, Rn, а другой подобной системы - величинами r1 , r2 ,…, rn. Тогда условие сходства требует равенства:

. (3.36)

То есть отношение похожих величин в одной системе равно их отношению в подобной системе. Эти постоянные безразмерные отношения называются инвариантами подобия и обозначаются символом і.

Инварианты подобия, которые являются отношением простых однородных величин, например, линейных размеров l/d, давлений p1/p2, вязкостей μ12 и т. п., называются симплексами подобия.

В основе теории подобия лежат три теоремы, которые формулируются следующим образом:

І теорема. Если физические процессы подобны друг другу, одноименные критерии подобия этих процессов имеют одинаковую величину.

ІІ теорема. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть представлены в виде функциональной связи между критериями подобия.

ІІІ теорема. Для того чтобы физические процессы были подобны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы эти процессы были качественно одинаковы, а их одноименные определяющие критерии - численно одинаковы.

<< | >>
Источник: В.Г. Самойлик, А.Н. Корчевский. Теория и техника физического эксперимента при обогащении полезных ископаемых: учебное пособие / В.Г. Самойлик, А.Н. Корчевский.– Донецк: ООО «Технопарк ДонГТУ «УНИТЕХ»,2016. – 205 с.: ил., табл.. 2016

Еще по теме 3.1.2 Условия применения теории подобия:

  1. Пижун Зоя Александровна. УЧЕТ В УСЛОВИЯХ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ, 2007
  2. §32. Идеальные условия возможности теории вообще. Строгое понятие скептицизма
  3. Введение
  4. 3.2.1. Вопросы сходства и различия объектов при применении методов целостной оценки
  5. Метод удельных экономических показателей
  6. Тема 4. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕОРИЙ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА
  7. § 3. Естественно-правовая теория
  8. 3. Применение теории потенциала в классических задачах математической физики
  9. 3.3. Ограничения применения теории характерного исполнения,связанные с влиянием различных группнормообразующих факторов
  10. Содержание
  11. 3.1 Теория подобия
  12. 3.1.2 Условия применения теории подобия
  13. Вопросы для самоконтроля.
  14. 6.2.2 Применение теории графов
  15. 32. Применение теории вычетов к вычислению определённых интегралов
  16. ГЛАВА 2. Печати, их классификация, значение и особенности условий применения
  17. КНИГА ШЕСТАЯ КРАТКИЕ ЗАМЕТКИ B СВЯЗИ C ОБЩЕЙ ТЕОРИЕЙ
  18. Условия безопасного применения взрывчатых веществ промышленного назначения
  19. Большинство исследователей, работающих в области филосо­фии языка, а в последнее время даже и некоторые лингвисты признают, что удовлетворительная семантическая теория должна отвечать на вопрос о том, каким образом значения[63] предложений зависят от значений слов.
  20. ГЛАВА II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ПРИМЕНЕНИЯ МУЛЬТИМЕДИЙНОГО УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ЯЗЫКОВОЙ КУЛЬТУРЫ СТУДЕНТОВ