3.1.1 Движение вязкой жидкости
Рассмотрим неустойчивое движение жидкости, при котором скорости и давления в каждой точке потока меняются с течением времени [3, 6, 7].
Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед с рёбрами dx, dy и dz (рис.
3.1).
Вследствие неразрывности потока, весь объем выделенного параллелепипеда будет постоянно заполнен подвижной жидкостью. При этом масса сжимаемой жидкости, которая поступает и выходит из параллелепипеда, в общем случае будет разная, что обусловлено непостоянством величин скорости w и плотности ρ.
Через левую грань А, параллельную плоскости YOZ, жидкость движется под влиянием составляющей скорости vx, параллельной оси ОХ. Будем считать эту составляющую, а также плотность ρ постоянными во всех точках этой грани и равными их значениям в точке А:
,
,
где – время.
В тот же момент времени для противоположного правой грани В эти величины будут:
;
.
Через площадку dydz левой грани в единицу времени вытекает количество жидкости (в единицах массы):
Масса жидкости, вытекающей через противоположную грань за это время, будет:
Таким образом, прирост массы жидкости за единицу времени в параллелепипеде является причиной разности значений vx и ρ на левой и правой его гранях и равен:
Аналогично получаем для направлений, перпендикулярных осям OY и OZ:
;
.
Полный прирост массы жидкости в параллелепипеде за единицу времени будет:
(3.1)
При неразрывности потока изменение массы в объёме dxdydz вызывается изменением плотности жидкости в этом объёме, то есть:
. (3.2)
После приравнивания уравнений (3.1) и (3.2) и деления на dxdydz получаем:
. (3.3)
Полученное уравнение называется уравнением неразрывности или сплошности.
В частных случаях уравнения сплошности принимает следующий вид:
- Для капельной жидкости (ρ = сопst):
или в векторной форме
div= 0.
Откуда следует, что при неразрывном движении жидкости объём её, который втекает в некоторую ограниченную часть пространства, равен объёму, который вытекает из него за то же время;
- для однородного газа [ρ = f2 (t)]:
или в векторной форме
ρdiv
= 0;
- для устойчивого движения:
или в векторной форме
div (ρ) = 0.
Из уравнения (3.3) при условии находим, что для данного пространства при устойчивом движении жидкость не изменяет своей массы, то есть массы жидкости, которая втекает и вытекает, равны между собой.
В любой точке движущегося потока должна иметь место равновесие сил, обуславливающих движение. Такими силами являются сила тяжести, силы давления (перепад давления) и силы трения. Для вывода уравнения движения выделим в жидкости, которая находится в движении, элементарный параллелепипед объёмом dW и с рёбрами dx, dy и dz.
Находим проекции на ось ОХ (рис. 3.2) силы тяжести, силы давления и силы трения, действующие на этот элементарный объем.
Для силы тяжести, которая приложена в центре тяжести элемента dW, имеем:
, (3.4)
где - проекция ускорения силы тяжести (м/с2) на ОХ.
![]() |
Обозначим удельное давление жидкости р кг/м2, тогда сила давления жидкости на верхнюю грань элемента будет равняться рdydz, а на нижнюю:
где - изменение гидростатического давления в направлении оси ОХ по всей длине ребра
; эта сила действует против направления движения жидкости.
Проекция равнодействующей сил давления будет:
. (3.5)
Действие силы трения рассмотрим сначала на примере движения плоского ламинарного потока, в котором проекция скорости vx зависит только от y. В этом случае сила трения возникает только на боковых гранях элемента.
Направления и величина сил трения показаны на рис. 3.3.
В пересечении у сила трения равна - Sdxdz и направлена против движения, так как скорость жидкости здесь меньше, чем в самом элементе.
В пересечении сила у + dу трения равна
и направлена в сторону движения, поскольку в этом случае скорость жидкость больше, чем в самом элементе.
![]() |
Проекция равнодействующая этих сил будет:
, (3.6)
где S - сила трения на единицу поверхности.
Но по закону Стокса
, (3.7)
где - вязкость среды.
После совместного решения уравнений (3.6) и (3.7) имеем:
.
В общем случае, когда скорость vx изменяется во всех трёх направлениях, проекция силы трения на ось ОХ будет:
, (3.8)
где символ - оператор Лапласа, который обозначает сумму вторых частных производных от проекции скорости на ось ОХ.
Суммируя проекции (3.4), (3.5) и (3.8), получаем проекцию равнодействующей всех сил, приложенных к объёму dW, на ось ОХ:
. (3.9)
Эта равнодействующая равна произведению массы элемента dW на его ускорение :
. (3.10)
Символ называется полной или субстанциональной производной vx по t.

, (3.11)
где М обозначает любую постоянную геометрическую точку в пространстве.
Чтобы охарактеризовать изменение vx для данной частицы жидкости за промежуток времени Δ t, следует за прирост vx принять разность между значениями функции vx в момент t + Δt в том положении частиц М’, в котором она находится в тот момент, и значением функции vx в момент t в исходном положении М частицы. Граница отношения этого приращения к Δt при Δt → 0 и называется субстанциональной производной.
Связь между частичной и полной производными заключается в том, что, когда складывается полная производная от функции v (x, Y, Z, t) считают x, y, z функциями от t, так как частица, которая имела в момент Δt координаты x, y, z, за время Δt переместится по некоторой кривой.
С использованием уравнений (3.9) и (3.10) получаем:
. (3.12)
Аналогично получаем уравнение для равнодействующая проекций сил на оси ОY и OZ.
. (3.13)
. (3.14)
Уравнение (3.12), (3.13) и (3.14) образуют систему дифференциальных уравнений движения несжимаемой жидкости Навье-Стокса. Эта система справедлива как для ламинарного, так и турбулентного движения.
Если μ постоянное, уравнение (3.12), (3.13) и (3.14) можно представить одним векторным:
, (3.15)
где - кинематический коэффициент вязкости, м2/с.
Уравнения Навье-Стокса могут быть получены и для сжимаемых жидкостей. Уравнение относительно оси ОХ имеет следующий вид:
(3.16)
Такие же уравнения имеют место в направлениях OY и OZ.
К этим уравнениям добавляем ещё и уравнение теплового баланса. Тепло, которое поступает в единичный объем при постоянном состоянии, равно таковой же количество тепла, удаляемого из этого же объёма. К данному объёму, также как и в уравнении (3.12), тепло подводится вследствие теплопроводности и с помощью материальных частиц, которые протекают через единичный объем при одновременном его охлаждении. Если температура τ этого объёма не меняется со временем, то общее количество подведённого тепла должна быть равна нулю, и если учесть наличие источника тепла с интенсивностью qі (ккал/м3), то получаем следующее уравнение:
, (3.17)
где с - теплоёмкость, ρ - плотность, λ - теплопроводность.
В левой части уравнения (3.17) представлено количество тепла в единичном объёме, которое используется для нагрева на dτ частиц, протекающих через параллелепипед с рёбрами dx, dy, dz. Это тепло покрывается за счёт подвода тепла из окружающей среды (первый член правой части уравнения) и за счёт источника тепла qі. После деления обеих частей уравнения на сρ получаем:
(3.18)
или в векторной форме
. (3.19)
Система из пяти дифференциальных уравнений (3.3), (3.12), (3.13), (3.14) и (3.18) с частными производными совместно с пограничными и начальными условиями полностью описывают процесс движения вязкой жидкости.
Вблизи стенок поток является ламинарным, соответственно, передача тепла происходит в результате теплопроводности:
, (3.20)
где - поверхность теплообмена; п - нормаль к
;
- температурный градиент жидкости непосредственно у стенки.
Количество передаваемого тепла обычно выражают с помощью коэффициента теплоотдачи α (ккал/м2·ч·град), с использованием формулы Ньютона:
, ккал (3.21)
или
, ккал/ч. (3.22)
Несмотря на то, что коэффициент теплоотдачи не входит в уравнения (3.3) - (3.20), он часто применяется в тепловых расчётах. После дифференцирования уравнения (3.22) получаем:
, (3.23)
где температура стенки;
- температура жидкости.
Таким образом, имеем:
. (3.24)
Эта зависимость позволяет коэффициент теплоотдачи α ввести в систему дифференциальных уравнений для конвективной теплопередачи. Поскольку температурный градиент в формуле (3.24) зависит от температур стенки и жидкости и от толщины пограничного слоя, то есть от характера (режима) движения, то, соответственно, и коэффициент теплоотдачи α зависит от всех величин, которые содержатся в уравнениях (3.3) - (3.20).