<<
>>

3.1.1 Движение вязкой жидкости

Рассмотрим неустойчивое движение жидкости, при котором скорости и давления в каждой точке потока меняются с течением времени [3, 6, 7].

Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед с рёбрами dx, dy и dz (рис.

3.1).

Вследствие неразрывности потока, весь объем выделенного параллелепипеда будет постоянно заполнен подвижной жидкостью. При этом масса сжимаемой жидкости, которая поступает и выходит из параллелепипеда, в общем случае будет разная, что обусловлено непостоянством величин скорости w и плотности ρ.

Через левую грань А, параллельную плоскости YOZ, жидкость движется под влиянием составляющей скорости vx, параллельной оси ОХ. Будем считать эту составляющую, а также плотность ρ постоянными во всех точках этой грани и равными их значениям в точке А:

,

,

где – время.

В тот же момент времени для противоположного правой грани В эти величины будут:

; .

Через площадку dydz левой грани в единицу времени вытекает количество жидкости (в единицах массы):

Масса жидкости, вытекающей через противоположную грань за это время, будет:

Таким образом, прирост массы жидкости за единицу времени в параллелепипеде является причиной разности значений vx и ρ на левой и правой его гранях и равен:

Аналогично получаем для направлений, перпендикулярных осям OY и OZ:

;

.

Полный прирост массы жидкости в параллелепипеде за единицу времени будет:

(3.1)

При неразрывности потока изменение массы в объёме dxdydz вызывается изменением плотности жидкости в этом объёме, то есть:

. (3.2)

После приравнивания уравнений (3.1) и (3.2) и деления на dxdydz получаем:

. (3.3)

Полученное уравнение называется уравнением неразрывности или сплошности.

В частных случаях уравнения сплошности принимает следующий вид:

- Для капельной жидкости (ρ = сопst):

или в векторной форме

div= 0.

Откуда следует, что при неразрывном движении жидкости объём её, который втекает в некоторую ограниченную часть пространства, равен объёму, который вытекает из него за то же время;

- для однородного газа [ρ = f2 (t)]:

или в векторной форме

ρdiv = 0;

- для устойчивого движения:

или в векторной форме

div (ρ) = 0.

Из уравнения (3.3) при условии находим, что для данного пространства при устойчивом движении жидкость не изменяет своей массы, то есть массы жидкости, которая втекает и вытекает, равны между собой.

В любой точке движущегося потока должна иметь место равновесие сил, обуславливающих движение. Такими силами являются сила тяжести, силы давления (перепад давления) и силы трения. Для вывода уравнения движения выделим в жидкости, которая находится в движении, элементарный параллелепипед объёмом dW и с рёбрами dx, dy и dz.

Находим проекции на ось ОХ (рис. 3.2) силы тяжести, силы давления и силы трения, действующие на этот элементарный объем.

Для силы тяжести, которая приложена в центре тяжести элемента dW, имеем:

, (3.4)

где - проекция ускорения силы тяжести (м/с2) на ОХ.

Обозначим удельное давление жидкости р кг/м2, тогда сила давления жидкости на верхнюю грань элемента будет равняться рdydz, а на нижнюю:

где - изменение гидростатического давления в направлении оси ОХ по всей длине ребра ; эта сила действует против направления движения жидкости.

Проекция равнодействующей сил давления будет:

. (3.5)

Действие силы трения рассмотрим сначала на примере движения плоского ламинарного потока, в котором проекция скорости vx зависит только от y. В этом случае сила трения возникает только на боковых гранях элемента.

Направления и величина сил трения показаны на рис. 3.3.

В пересечении у сила трения равна - Sdxdz и направлена против движения, так как скорость жидкости здесь меньше, чем в самом элементе.

В пересечении сила у + dу трения равна

и направлена в сторону движения, поскольку в этом случае скорость жидкость больше, чем в самом элементе.

Проекция равнодействующая этих сил будет:

, (3.6)

где S - сила трения на единицу поверхности.

Но по закону Стокса

, (3.7)

где - вязкость среды.

После совместного решения уравнений (3.6) и (3.7) имеем:

.

В общем случае, когда скорость vx изменяется во всех трёх направлениях, проекция силы трения на ось ОХ будет:

, (3.8)

где символ - оператор Лапласа, который обозначает сумму вторых частных производных от проекции скорости на ось ОХ.

Суммируя проекции (3.4), (3.5) и (3.8), получаем проекцию равнодействующей всех сил, приложенных к объёму dW, на ось ОХ:

. (3.9)

Эта равнодействующая равна произведению массы элемента dW на его ускорение :

. (3.10)

Символ называется полной или субстанциональной производной vx по t.

Эту производную следует понимать следующим образом: скорость изменения vx в данной точке характеризуется частичной (или локальной) производной vx по :

, (3.11)

где М обозначает любую постоянную геометрическую точку в пространстве.

Чтобы охарактеризовать изменение vx для данной частицы жидкости за промежуток времени Δ t, следует за прирост vx принять разность между значениями функции vx в момент t + Δt в том положении частиц М’, в котором она находится в тот момент, и значением функции vx в момент t в исходном положении М частицы. Граница отношения этого приращения к Δt при Δt → 0 и называется субстанциональной производной.

Связь между частичной и полной производными заключается в том, что, когда складывается полная производная от функции v (x, Y, Z, t) считают x, y, z функциями от t, так как частица, которая имела в момент Δt координаты x, y, z, за время Δt переместится по некоторой кривой.

С использованием уравнений (3.9) и (3.10) получаем:

. (3.12)

Аналогично получаем уравнение для равнодействующая проекций сил на оси ОY и OZ.

. (3.13)

. (3.14)

Уравнение (3.12), (3.13) и (3.14) образуют систему дифференциальных уравнений движения несжимаемой жидкости Навье-Стокса. Эта система справедлива как для ламинарного, так и турбулентного движения.

Если μ постоянное, уравнение (3.12), (3.13) и (3.14) можно представить одним векторным:

, (3.15)

где - кинематический коэффициент вязкости, м2/с.

Уравнения Навье-Стокса могут быть получены и для сжимаемых жидкостей. Уравнение относительно оси ОХ имеет следующий вид:

(3.16)

Такие же уравнения имеют место в направлениях OY и OZ.

К этим уравнениям добавляем ещё и уравнение теплового баланса. Тепло, которое поступает в единичный объем при постоянном состоянии, равно таковой же количество тепла, удаляемого из этого же объёма. К данному объёму, также как и в уравнении (3.12), тепло подводится вследствие теплопроводности и с помощью материальных частиц, которые протекают через единичный объем при одновременном его охлаждении. Если температура τ этого объёма не меняется со временем, то общее количество подведённого тепла должна быть равна нулю, и если учесть наличие источника тепла с интенсивностью qі (ккал/м3), то получаем следующее уравнение:

, (3.17)

где с - теплоёмкость, ρ - плотность, λ - теплопроводность.

В левой части уравнения (3.17) представлено количество тепла в единичном объёме, которое используется для нагрева на dτ частиц, протекающих через параллелепипед с рёбрами dx, dy, dz. Это тепло покрывается за счёт подвода тепла из окружающей среды (первый член правой части уравнения) и за счёт источника тепла qі. После деления обеих частей уравнения на сρ получаем:

(3.18)

или в векторной форме

. (3.19)

Система из пяти дифференциальных уравнений (3.3), (3.12), (3.13), (3.14) и (3.18) с частными производными совместно с пограничными и начальными условиями полностью описывают процесс движения вязкой жидкости.

Вблизи стенок поток является ламинарным, соответственно, передача тепла происходит в результате теплопроводности:

, (3.20)

где - поверхность теплообмена; п - нормаль к ; - температурный градиент жидкости непосредственно у стенки.

Количество передаваемого тепла обычно выражают с помощью коэффициента теплоотдачи α (ккал/м2·ч·град), с использованием формулы Ньютона:

, ккал (3.21)

или

, ккал/ч. (3.22)

Несмотря на то, что коэффициент теплоотдачи не входит в уравнения (3.3) - (3.20), он часто применяется в тепловых расчётах. После дифференцирования уравнения (3.22) получаем:

, (3.23)

где температура стенки; - температура жидкости.

Таким образом, имеем:

. (3.24)

Эта зависимость позволяет коэффициент теплоотдачи α ввести в систему дифференциальных уравнений для конвективной теплопередачи. Поскольку температурный градиент в формуле (3.24) зависит от температур стенки и жидкости и от толщины пограничного слоя, то есть от характера (режима) движения, то, соответственно, и коэффициент теплоотдачи α зависит от всех величин, которые содержатся в уравнениях (3.3) - (3.20).

<< | >>
Источник: В.Г. Самойлик, А.Н. Корчевский. Теория и техника физического эксперимента при обогащении полезных ископаемых: учебное пособие / В.Г. Самойлик, А.Н. Корчевский.– Донецк: ООО «Технопарк ДонГТУ «УНИТЕХ»,2016. – 205 с.: ил., табл.. 2016

Еще по теме 3.1.1 Движение вязкой жидкости:

  1. 2.3. Математическая постановка задачи. Начальные и граничные условия. Описание расчетной области объекта
  2. 3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба
  3. 4.4. Моделирование влияния вязкости шлака на структуру суспензии
  4. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
  5. 56. Частицы жидких тел обладают движениями, направленными во все стороны; достаточно малейшей силы, чтобы привести в движение окруженные ими твердые тела  
  6. 7.1 Солнце
  7. Бытие как воля к превосходству
  8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
  9. §1.10. РЕЗОНАНС
  10. §3.15. СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
  11. § 3.16. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ
  12. § 9.9. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
  13. § 9.13. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
  14. 17. Следопытство
  15. Электромагнитные расходомеры.