7. Применение интегральных преобразований в теории упругости

7.1. Осесимметричные напряжения в цилиндре. Рассмотрим напряжения, возникающие в неограниченном круглом цилиндре с радиусом, равным единице, когда к боковой поверхности этого цилиндра приложено нормальное напряжение, равное единице при z > 0 и нулю при z < 0.

ог — нормальные напряжения по направлениям радиусов, или радиальные напряжения;

оо — нормальные напряжения в перпендикулярном направлении, или тангенциальные напряжения;

О; — нормальные напряжения, параллельные оси г;

тгг — касательные напряжения, направленные параллельно оси г в касательных плоскостях к цилиндру.

Других касательных напряжений по условиям симметрии не может быть. Как известно, все указанные напряжения могут быть выражены через функции напряжений и по формулам

Здесь а = const означает коэффициент Пуассона для материала цилиндра, и = и (г, z) — функция напряжений, удовлетворяющая бигармоническо- му уравнению

V4u = 0, —00 < z < r< 1. (91)

Решение задачи сводится к интегрированию данного уравнения при гра-ничных условиях

Or(l,z) = -l, 0 < z < Or(l,z) = 0, < г < 0, (92)

trj(1. г) = 0, г < (93)

где аг, хгг зависят от функции напряжений и согласно (89).

В данном случае искомая функция и не исчезает, когда z —* Поэтому применение обычного преобразования Фурье приводит к появле-нию расходящихся интегралов, так что следует использовать комплексное преобразование Фурье

U(г, \) = J е-**и(г, z)dz,

где мнимая часть ? отрицательна, чтобы указанный интеграл сходился.

по z от —оо до +00 и обозначая L = + у — получим вспомогательное обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка для U(г, ?,)

I2 й = 0, r< 1, (94) и соответствующие граничные условия

а

L dr2

U( 1,4) = Г2, ^[(1-o)L + 52]?/(1,5) = 0. (95) Решение уравнения (94), ограниченное при г = 0, имеет вид

?/(г,5)=А/О(5'-) + В5Г/,(5Г), (96)

где А, В — постоянные. Пользуясь рекуррентной формулой для функций Бесселя, находим

LU(r,t)=2BZ,2Io&r). (97)

Подставив (96) и (97) в (95), определим постоянные А и В. Подставив их в (96), получим преобразованную функцию напряжений U (г, ?). Для нахождения напряжений (89), (90) можно воспользоваться двумя способами: либо путем формулы обращения найти и{г; г) и подставить ее в (89), (90); либо умножить равенства (89), (90) на проинтегрировать их по г,

найдя тем самым выражения для фурье-образов напряжений, и только после этого воспользоваться обратным преобразованием Фурье. Обычно второй способ предпочтительнее; например, для образа XQ в этом случае получается

Mr,^) = -^[oL--rj-r]u(r,i). (98)

Образы остальных напряжений получаются аналогично.

7.2. Задача Буссинеска для полупространства. Рассмотрим задачу теории упругости для следующего частного случая распределенной на-грузки. К круговой области единичного радиуса, расположенной на по-верхности г = 0 упругого полупространства z > 0, приложена распреде-ленная нагрузка интенсивности, равной единице. Остальная часть поверх-ности z = 0 свободна от нагрузки. Требуется найти величину напряжения на оси круговой области в точке, расположенной на расстоянии z от по-верхности.

Как и ранее, нормальное напряжение о: и касательное напряжение хп могут быть выражены через функцию напряжений и по формулам (89) и (90). Задача сводится к интегрированию бигармонического уравнения (91) при граничных условиях

стг(г,0) = -1, 0 < г < 1, ог(г,0) = 0, r> I, (99)

тгг(г,0) = 0, 0 < г < о®. (100)

Умножая уравнение (91) и граничные условия (99) на rJo(pr) и интегрируя по г в пределах от 0 до получим обыкновенное дифференциальное

уравнение для образа Ханкеля Uг) = / rJo(^r)u(r, z) dr

Jo

(?-^2)2Ua,z)= 0, (101)

и, с учетом (90), (99), соответствующее краевое условие при г = 0

(1 - о) ^ - (2 - а)^ f = - /rJ0{Wr = (102)

о

Равенства (89г), (100) дают при г = 0 второе краевое условие

a~ + (l-o)i2U = 0.

dz'

Итак, задача сведена к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка (101) при граничных условиях (102), (103). Общее решение дифференциального уравнения (101), конечное при больших положительных z, имеет вид ?/(!;, г) = (A + Bz)e~&. Полагая z = 0 и подставляя полученные выражения в (102), (103), получим А = В = Тогда

= + (104)

Воспользовавшись теперь формулой обращения для преобразования Ханкеля, находим

°z = -J + (105)

о

В частности, при г = 0 имеем аг = -1 + z3(z2 4- I)-3/2. Напряжения ог и OQ находятся аналогично. Образ напряжения для xrz можно получить, применив преобразование Ханкеля с ядром rj\ (рг); в этом случае формула обращения имеет ядро t,J\ (г?).

7.3. Нахождение напряжений в клине. Пусть на каждую из плоских поверхностей бесконечного клина с углом 2а приложена распределенная нагрузка с напряжением, равным единице вдоль полосы шириной а. Требуется найти касательные напряжения в клине. В этом случае нормальные и касательные напряжения могут быть выражены через функцию напряжений и(г, 9) следующим образом:

д2и

ав = Т2, (106)

дг

д г 1 ди\

"-їУ' (107>

где функция и удовлетворяет бигармоническому уравнению

f д2 1 Э д2 \ ^

+ + и = 0> 0 < г <оо, -а < 9 < а. (108)

\дг г дг г

Задача сводится к решению уравнения при краевых условиях

а0(/-, ±а) =-1, 0 < г <а, ов(г, ±а) = 0, г > а, (109)

стЛ(г,±а) = 0, 0<г<оо. (110)

Предположим, что функция и такова, что

„:,,д"и пд"и . Л , „,, Э3м

гР+'ззг. (« = 0,1,2) и г •

дг"' Э9" v ' ' ' ЭгЭ92

стремятся к нулю, когда г -> и обозначим U (р, 9) преобразование Мел- лина функции и{г, 0):

U(p,e) = j r"-\{r,Q)dr. (Ill)

о

Умножая бигармокическое уравнение на rp+i и интегрируя по г от 0 до °о, находим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно преобразованной функции

§ + [(р + 2)2 + Р2)^+ р\р + 2 )2U = 0. (112)

Соответствующие граничные условия для U получим, если подставим в (109) и (ПО) выражения (106), (107), умножим полученный результат на rp+i и проинтегрируем по г от 0 до оо.

Общее решение данного обыкновенного дифференциального уравнения (112) имеет вид

U{p, 0) = A sin pQ + В cos рв + С sin (р + 2)0 + Dcos (р + 2)0, (113)

где А, В, С, D зависят от р и а.

определим из граничных условий.

Теперь обратимся к касательным напряжениям. Согласно (107) имеем

і. . ди д2и

г2(ою) =

38 дгдв

Преобразование Меллина этой функции равно (р+ 1) После некоторых вычислений находим

™Оиі = J"x(p)cos[pln*]о

где

. _ sin(a-8)sh(a + 8)p-sin(a + 8)sh(a-8)p psin2a + sh2ap

В частности, при a = л/2, когда клин становится полубесконечным твердым телом, полученный интеграл удается вычислить в конечном виде, пользуясь выражением /

shojc , sin2a

• cos (тех) ax =

sh(nx/2) cos2<7 + ch2/;i

0

В результате получаем

. . 2a/-cos8 / a2cos28 \

Для остальных значений a напряжение может быть найдено путем приближенного вычисления интеграла в (114).