6. Применение интегральных преобразований к задачам гидродинамики
6.1. Двумерный безвихревой поток идеальной жидкости. Рассмотрим безвихревой двумерный поток идеальной жидкости, заполняющей по-луплоскость у > 0, компоненты скорости обозначим и и v.
Как известно,Э<р Эф
И = 'Э? v=~9? (76)
где скалярный потенциал скорости ф удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа
Дф = ^ + = 0. (77)
Э^ф Э^ф Эх2 + ду2
Будем считать, что жидкость втекает в рассматриваемую полуплоскость через отрезок \х\ < а границы у — 0. Сначала предположим, что жидкость втекает с заданной скоростью, направленной перпендикулярно к отрезку, через который она втекает. Таким образом, граничное условие вдоль линии у = 0 имеет вид
-/(*). 0<М<в, (78)
ду 0, \х\ > а,
где f(x) — заданная функция точки. Далее, сделаем предположение, что на большом расстоянии от линии у = 0 жидкость находится в покое, т. е. (и, v) -> 0 при у -» Легко показать, что уравнения (77) и (78) сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению
d2Ф -2,». л
—- - Нф = 0 dy2
при граничном условии dФ{t^, 0)/dy = —F(Q. Здесь Ф, F — образы Фурье функций ф, /. Решение рассматриваемой задачи, очевидно, имеет вид
Ф = откуда, на основании теоремы обращения, следует
(79)
В частности, если
—оо
то
и поэтому
U sin 1,а
0, \х\ > а,
Компонент скорости жидкости в направлении оси у дает выражение
ay 2п J с,
— оо
.. f°sin?a я у Учитывая значение интеграла / —-—е ^ dt, = — — arctg -, находим
Jo с, 2 а
U v v
v(*,y) = —(6,-02), 01 = arctg ——, 62 = arctg -
2я х — а х + а
Точно таким же способом для компонента скорости жидкости в направлении оси х найдем выражение
Эф U . П и(х,у) = = — In—, ах 2я п
где г\ = (х + а)2 + у2 и г} = (х-а)2+у2.
Если ввести комплексный потенциал w(z) = ф + Л|/, z — х + іу, то
dw Эф . Эф
= __г =_и + гУ) (80) dz ах ау
и поэтому, принимая во внимание значения компонентов скорости, получаем
dw _ U ^ z~a dz 2к z + а
Проинтегрировав это выражение по z, найдем выражение для комплексного потенциала
w(z) = ^ [2а + (г - a)\n(z — a) - (г + a) In (г + а)].
6.2.
Течение идеальной жидкости через щель. Рассмотрим установившийся двумерный поток идеальной жидкости через щель в жесткой плоской границе. Начало координат поместим в центр щели, а ось г направим перпендикулярно к плоскости перегородки. Задача, таким образом, сводится к решению дифференциального уравнения (77) в случае следующих граничных условий: при у = 0 и |JC| < аЭф п
у = -аГа
при у = 0 и \х\> а Если при у = 0
v = j (л2-*2)-'/2, 0 < < а,
0, |дс| > а,
то на основании предыдущих результатов заключаем, что потенциал скорости дается выражением
ф = const,? 141
—а
и, следовательно, из формул (76) вытекают следующие выражения для компонентов вектора скорости:
= = j e-b>Ma?)cos(bc)dt, (81)
и(х,у) = =/ (82) о
Таким образом, при у = О
^ = - J%m{lpc)Jo{at,) db, = 0, если < а, о
а это означает, что ср — постоянная на отрезке у = 0, |jcj < а. Подставляя выражения для компонентов скорости в уравнение (80), находим, что комплексный потенциал потока в рассматриваемом случае является реше-нием уравнения
о
Интегрируя это уравнение, получаем z = achw.
6.3. Истечение идеальной жидкости через круглое отверстие.
Пусть начало координат находится в центре круглого отверстия и ось z направлена перпендикулярно к плоскости тонкого жесткого экрана. Любую точку жидкости можно задать при помощи цилиндрических координат г, z. Решение задачи об установившемся течении жидкости сводится к нахождению потенциала скоростей ср (г, z), удовлетворяющего уравнению
Лапласа в рассматриваемых координатах, т. е.
^ + + ^ = ° <83>
dr г dr dz при краевых условиях на плоскости z = 0
а. (84)
Функция g(r) является заданной функцией.
Умножим обе части уравнения (83) на rJo(Z,r) и проинтегрируем по г от 0 до оо, находим, что это уравнение эквивалентно обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка
dz
И В. И. Агошков и др
где Ф(?, z) — образ Ханкеля потенциала скорости.
Если через рассмат-риваемое отверстие жидкость втекает в полупространство z > 0, то потенциал скорости должен стремиться к нулю при z —> и поэтому решение уравнения (85) следует взять в формеФ = А?)е-Ь, (86)
где А(?) должно быть определено при помощи условий (84). Дифференцируя последнее равенство по г, получаем
Эф
о
Применяя теорему обращения для преобразования Ханкеля, находим Соотношения
оо оо
Ф(Г, z) = f ^^ = -/i2A(t)e-bj0?r)dl
о о
Подставляя эти соотношения в условия (84) и полагая
р=-, А] (и) = иА {—} , *](р)=а2*(г), а \а/
будем иметь следующие дуальные интегральные уравнения для определения функции F(u):
оо оо
JAi(u)Jo(pu)du = gi(p), 0 < р < 1; f uA](u)Jo{pu)du = 0, р > 1. о о
Функция А(?) выражается через Аі(и) по формуле А(?) = А\(а?)1(а?). Решение системы уравнений для А і (и) имеет вид
1 , , 1 1 2 г yg j (у) dy 2 Г ydy Г AM = - cos„y —+ -J ^ J gi{yx)xusm{xu)dx.
В частном случае, когда функция gi (р) сводится к постоянной С, имеем
, . . 2Csin«
Ai (и) = — — ¦
71 u
При этом функция g(r) равна постоянной у, где у = С/а2, и
_ 2ysin(?a)
Следовательно,
= %(87) о
Точно так же можно рассмотреть случай, когда значение Эф/Эг задано по всей плоскости г = 0. Если Эф/Эг = —f{r) (предполагается, что Эф/Эг обращается в нуль для значений г, превосходящих а) и если образ Ханкеля
нулевого порядка этой функции обозначается через
а
т=/ гтмшг,
о
то легко показать, что Ф(?) = —F(?)/?. Отсюда
V{r,z) = -fF{t,)e-bMtr)dt. о
Если отверстие достаточно мало, то можно положить в терминах обобщенных функций f(r) = Sb(r)/(2nr), причем образ Ханкеля этой функции
равен F(?) = 5/(2л). Отсюда окончательно имеем
= <88)