4. Применение интегральных преобразованийв задачах теплопроводности

4.1. Решение задачи теплопроводности с помощью преобразования Лапласа. Рассмотрим классическую задачу теплопроводности для полубесконечного твердого тела х > 0 при условии, что граница х = 0 поддерживается при постоянной температуре Т, а начальная температура равна нулю.

Пусть u(x,t) означает температуру в точке х в момент времени г, а к — коэффициент температуропроводности.

дифференциального уравнения в частных производных

/>0j (62)

при краевом условии и(0,г) = Т и нулевом начальном условии. Умножая дифференциальное уравнение и краевое условие на ядро e~pt преобразования Лапласа и интеїрируя по t в пределах от 0 до получаем для

образа Лапласа U(p, t) = / e~p'u(x,t)dt уравнение

Jo

k~=PU, x>0, (63)

dx

и соответствующее краевое условие

U(p, t)= (e~p'Tdt = —. (64)

І р

Таким образом, задача сведена к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Оіраниченное на бесконечности решение этого уравнения при условии (64) имеет вид

U{p,t) = -e~x^. (65)

Р

Переходя от U к функции и при помощи формулы обращения или при помощи таблиц преобразований Лапласа, получим

(66)

Это и есть искомое решение задачи. Здесь erfcx означает функцию, дополнительную к плотности распределения нормальной случайной величины и определяемую интегралом

оо

erfcx = 1 - erfx=-j= J e~u2du. (67)

_2 \рк

4.2. Решение задачи теплопроводности с помощью преобразования Фурье. Рассмотрим задачу теплопроводности для полубесконечного твердого тела х > 0 при условии, что іраница х = 0 поддерживается при постоянной температуре Т, а начальная температура равна нулю.

Эта задача была решена в п. 4.1 при помощи преобразования Лапласа. Как ясно из физических соображений, и -» 0 и ди/дх -» 0 при х -+ Данное краевое условие является краевым условием первого рода.

(62) на ядро sin (4*) и интегрируя по л в пределах от 0 до получим вспомогательное уравнение

^L=k(Z,T-?U), / > 0, (68)

с нулевым начальным условием. Таким образом, синус-преобразование снова сводит решение нашей задачи к решению обыкновенного дифферен-циального уравнения. Решение этого уравнения, оіраниченное при t > О и удовлетворяющее начальному условию, имеет вид U = Т([ - *')/?• Формула обращения дает

„(х, г) = f /(1 - е-?«>) sin {хЩ = Т I-2-/ е,in «) | о о

что совпадает с ранее полученным представлением (66). Отметим, что переход от U к функции и в случае синус-преобразования осуществляется значительно легче, чем в случае использования преобразования Лапласа.

(69)

4.3. Задача о температурном режиме шара. Предположим, что од-нородный шар единичного радиуса симметрично подогревается снизу про-должительное время, так что можно рассматривать стационарный темпе-ратурный режим. В результате для определения температуры и внутри шара возникает внутренняя задача Дирихле, причем в сферической системе координат

{(г,6,(р): 0 зависимость от "долготы" ф отсутствует, так что и — и (г, 6). Полагая /х = = cos0, можно переписать уравнение Лапласа в виде

гд2(ги) + дц( 1 — /х2)Э^и = 0, и = u(r, arccos/x), 0 < г < 1, -1Краевое условие имеет вид и(1, arccos/x) = /(/х). Применим преобразова-ние Лежандра по /х к уравнению Лапласа. Переставляя операции Тг и гд2 и полагая

U(г, п) = Tiutr, arccos/x), п = 0,1,2,..., приходим к уравнению

rd2{rU)-n{n+l)U = 0,

оіраниченное решение которого имеет вид U(г, п) = А(/г)г". Функции А(п) определяются из преобразованного по Лежандру краевого условия, А(п) = = %.f{t). Отсюда вытекает равенство і

и (г, п) = г» j f(n)PH (/х) dn = (/, v„ V, // = 0,1,2,..., -і

где і)/,,(/х) = у/n+ 1 /2Р„(ц), Р„ — многочлены Лежандра. Применяя обрат-ное преобразование Лежандра, получаем решение

оо

и{г, 0) = u{r, arccos/x) = ?(/, Vj/n)r"ij/n(cos0). /і=0