3. Применение интегральных преобразований в задачах теории колебаний

Электрические колебания. Рассмотрим электрические колебания в цепи, содержащей сопротивление R, индуктивность L, емкость С и источник э. д с. e{t). Для определения заряда q на пластинках конденсатора имеет место следующее дифференциальное уравнение:

Предположим, что в начальный момент времени заряд на пластинках конденсатора равен qo, а ток, текущий в цепи, равен /о- Воспользуемся преобразованием Лапласа и введем образы Q(p) и S(p) функций q, s.

во оо 2

Jе-р dAdt = _qo + pQ{p)t Ie-pt ±4dt = _,0 _ pqo + piQ{py

0 0

Поэтому после умножения обеих частей уравнения (43) на e~pt и интегрирования по / от 0 до решения возникающего алгебраического уравнения и применения формулы обращения для преобразования Лапласа находим окончательное решение рассматриваемой задачи

q(t) = e\p(—Rt/2L) ^о cos со/ + ^ ^о + sin cor j +

t

+ — exp{-Rt/2L) Je(x)exp(Rx/2L) sinсо(/ - т) dx. (44) 0

В частности, если сопротивление цепи равно нулю, т. е. если R — 0, то это равенство принимает вид

/

(7(/) = (70cosco/ + — sinco/H—- e{x)sind)(t-х) dx. (45)

со сoL J

о

Поперечные колебания струны. Малые свободные поперечные колебания струны описываются уравнением

д2и 2 д2и

где и(х, t) — отклонение струны в точке х в момент t от положения равновесия.

Рассмотрим движение бесконечной струны — оо < X < °° в отсутствии внешних сил, т. е. когда функция f(x, t) тождественно равна нулю. Зададим начальные условия и(х, 0) = <р(х), ди(х,0)/д/ — Чтобы решить уравнение (46), воспользуемся преобразованием Фурье. Умножим (46) (предварительно положив / = 0) на и проинтегрируем по х

от — оо до оо. Тогда, предполагая, что и и ди/дх стремятся к нулю при -> °о; и введя обозначения

оо

U{Xtt) = -j= j u(x,t)e-bdx, (47)

можно переписать (46) в виде

^-+аЧ2и = 0. (48)

dt2

Таким образом, при помощи преобразования Фурье (47) удается свести задачу решения дифференциального уравнения в частных производных к задаче решения обыкновенного дифференциального уравнения (48).

I/& t) = \ ФШеШ,% + + Щ (е'а* - е-а%

где Ф, У — образы Фурье начальных функций <р и Соотношение между функциями и a U выражается формулой обращения Фурье

и{х,1) = ж1 V&O^dt.

у/2я

—оо

Поэтому, подставляя вместо функции U{b„t) ее значение, находим «<*, і) = і | j ф(5)[Є«"-">+е';('+*'>і^{жпГ-т^-'^-^}- (49>

Так как <р(х) и Ф(?) связаны между собой преобразованием Фурье, то

оо

ф(* ± at) = J Ф&у^"') d\. (50)

—оо

Из тех же самых соображений имеем

x+at °°

J V)i(y)dy = -J= J - (51)

Подставляя (50), (51) в выражение (49), окончательно найдем решение

х+л/

1 1 Г

u{x,t) =-[ф + ш) + ф-м)) + — J y(y)dy. (52)

м—аі

Теперь рассмотрим случай, когда струна закреплена в начале координат и растянута вдоль положительной полуоси х > 0. Свободные поперечные

колебания описываются при помощи уравнения

= х>0, (53)

}_#«_#«

А2 Эг2 ДХ

причем предполагается, что и(х, 0) = ф(х) и Эи/Э/|,=о = у(х). Поскольку отклонения при х = 0 нулевые, то целесообразно воспользоваться синус- преобразованием Фурье (sin0 = 0). Умножим обе части уравнения (53) на sin(?x) и проинтегрируем по х от 0 до

Считая, что при стремлении х к бесконечности и и ди/дх стремятся к нулю, можно написать

(2\1/2 7э2и .

дх

о

где

ад0=(-) Ju(x,t)sm&)dx.

о

Таким образом, уравнение (53) эквивалентно уравнению

1 d2Us , ,2

t + = 0,

а2 dt

решение которого равно

Us& t) = COS Ш + ^Р sin №),

где Ф5, Ч^ — синус-преобразования начальных функций.

Воспользовавшись формулой обращения для синус-преобразования Фурье, получим

оо

u(x,t) = -j=J ФІ (і;) [sin i;(x + аг) + sin i;(x — af)] rfi; +

+ Jy,K)[cosl(x-at) - cos^(x + e/)]

о

Если x > at, то получаем из формул (8), (9) аналогично (50), (51)

Ф(х±л) = (^)І/2|ф,(?)5іп!;(*±а/)^, (54)? х+ш

/ ^{y)dy=Ql/2 J^-[cosUx-at)-cosUx +at)] d\. (55)

x-at 0

Следовательно, при x > at решение u(x, t) выражается формулой (52).

{

ш-х x+at

J 4(y)dy+ J 4(y)dy

о о

Отметим, что если в нуле струна не закреплена, что соответствует краевому условию второго рода ди/дх\х-о — О, то следует применять не синус-, а косинус-преобразование Фурье, поскольку косинусы удовлетворяют данному краевому условию.

3.3. Поперечные колебания бесконечной круглой мембраны. Свободные двух- и трехмерные колебания описываются уравнением

u„{x,y,t)=a2Au, (56)

где Д — оператор Лапласа, который в декартовых координатах в двумерном случае имеет вид Дм = м*, + иуу. В том случае, когда колебания происходят симметрично относительно оси, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскости, совпадающей с мембраной в положении равновесия, удобно перейти к полярным координатам г, ф. В силу симметричности зависимости от угла ф нет, и уравнение (56) принимает вид

Л 1Эм = 1Л

дг2 rdr a2 dt2 * п

Это уравнение описывает свободные колебания в случае их симметричного распределения.

Чтобы решить уравнение (57), введем образ Ханкеля U(t,,t) смещения u(r, t). Несложно убедиться, что

/гф + l д?) Mir) dr = -S4/K, о, (58)

о

считая, что г ди/дг стремится к нулю при г = 0 и г = «. Умножая обе части уравнения (57) на rJofer) и интегрируя по г от 0 до приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению

dr

которое имеет решение

{/(!;, г) = А&) cos + В(?) sin {&)• (59)

Пусть в начальный момент t = 0 и = ф(г), Эм/Э/ = у(г). Тогда А = = Ф(?), В = *?(?,)/(at). Следовательно, подставляя эти значения в реше- ние (59) и используя формулу обращения Ханкеля (22), получаем

оо оо

u(r, t) = J&(Qca*(aZf)Mtr)dt, + l-J (60)

о о

Чтобы выразить u(r,t) явно через функции <р(г) и V)/(г), можно восполь-зоваться теоремой Парсеваля для образов Ханкеля, при этом необходимо вычислить интегралы вида fVo

JomJo?r)cos(ab)dt,

о

которые достаточно сложны. Однако можно получить общее решение по- другому. Так, воспользовавшись кратным преобразованием Фурье, ана-логично предыдущим рассуждениям получаем для решения двумерного уравнения (56) формулу

Ф(<*> Р) da d$

(*-а)2-(у-Р)2],/2

Ч/(а, р) rfa rfp

, \ 1 f Г д Ф(а "(*¦»'> = -2ы! IbtTaVZT^

— ОО —оо

1_ Г f ?(<*> р) da dp

2ш 11 [fl2/2 - (* - а)2 -(У- Р)2]1/2'

где и(х, у, 0) = ф(х, у), и,(х, у, 0) = V(JC, у).