5. Применение интегральных преобразований в теории диффузии нейтронов

Стационарное уравнение переноса нейтронов при некоторых упрощающих предположениях можно привести к уравнению

d-^l = d-^l+S(x,r), х€ R1, т > 0, (70)

где функция S описывает источники нейтронов, искомая величина и(х, т) представляет собой концентрацию нейтронов в единицу времени, достигающих возраста т; ввиду этого и называется плотностью замедления.

Решение уравнения замедления нейтронов для замедлителя бесконечных размеров. Исследуем решение уравнения в частных про-изводных (70) в случае, когда среда безіранична и функция источника в терминах обобщенных функций имеет вид S8(x)8(x), S — const. При т = 0 плотность замедления и(х, т) согласована с уравнением (70) и равна S8(x). Краевое условие, налагаемое на плотность замедления, заключается в том, что она должна стремиться к нулю при стремлении jxj к бесконечности.

Решение (70) можно найти при помощи введения образа Фурье U (?,, т) плотности замедления и(х, х). Учитывая поведение плотности замедления на бесконечности и интеїрируя по частям, получаем, что уравнение (70) эквивалентно обыкновенному дифференциальному уравнению

dU „2г, 1 с/ ч

— +?U = -=8 (т). dx ъ у/2к

Решение его равно U(^,x) — (2ri)~1!2. Используя теорему обращения, получаем решение

Задача о диффузии тепловых нейтронов. После того как нейтроны достигнут определенной скорости, они перестанут терять энергию и можно описывать их движение при помощи классической теории диффузии. Если через р(г, /) обозначить плотность нейтронов, то получим уравнение диффузии

р _ х Эр х Л2 ~ Л2 dt Д2

где Л называется диффузионной длиной. Поэтому в одномерном стационарном случае (р не зависит от времени) будем иметь уравнение

Если среда бесконечна, то можно решить это уравнение, введя для р и q образы Фурье; тогда оно принимает вид

^ Л2 ?2+ 1/Л2

При помощи теоремы обращения будем иметь

р {z) = ^f g«>«*aV^Li (42 + 1 /А2)

Значение этого интеграла на основании теоремы о свертках для преобразования Фурье можно выразить через значение функции q(z). В результате получим

оо

РЫ = ^ j du. (75)