3.1.5 Тепловое подобие

Аналогично гидродинамическому подобию рассмотрим условия теплового подобия. Во-первых, рассмотрим случай чистой теплопроводности, то есть переноса тепла молекулярным способом без конвекции [8].

, (3.50)

где с_р - удельная теплоёмкость жидкости.

Приведём это уравнение к безразмерному виду, для чего введём такие безразмерные величины:

; ; ; ; ; ,

где , , , , , – безразмерные величины; , , , , l, – характерные размерные величины (масштабы).

Рассмотрим одномерное движение, то есть , тогда .

После подстановки принятых соотношений в уравнение переноса тепла получаем:

,

или (3.51)

.

где - коэффициент температуропроводности, а - число Фурье, которое характеризует нестационарность процесса молекулярного переноса тепла.

Далее рассмотрим случай конвективного переноса тепла. Для случая одномерного устойчивого движения соответствующее уравнение будет:

.

После введения безразмерных величин получаем:

или (3.52)

.

То есть, для сходства процессов необходимо соблюдать равенство величины , а обратная ей величина называется числом Пекле.

число Пекле характеризует конвективный перенос тепла.

Очевидно, что малые значения числа Ре отвечают очень малом конвективном переноса в общем переносе тепла. Итак, при значениях чисел Ре < 1 наблюдается только молекулярный перенос, то есть теплопроводность, тогда как при больших значениях числа Ре роль молекулярного переноса будет незначительна.

Перенос тепла с поверхности F при разнице температур в потоке и на стенке τ₁ - τ_w можно представить в виде:

, (3.53)

где температура окружающей среды; - температура стенки; коэффициент теплопереноса.

Для плотности теплового потока имеем:

. (3.54)

Запишем уравнение (3.54) в безразмерном виде:

и после деления на получим:

откуда получаем число Нуссельта:

= Nu – число Нуссельта, можно рассматривать как отношение действительного теплового потока, который определяется величиной коэффициента теплопереноса α, к удельному тепловому потоку, который должен иметь место в условиях чистой теплопроводности в слое толщиной l, то есть:

.

Если разделить число Ре на число Re, получим число Прандтля:

. (3.55)

Число Pr характеризует отношение двух характеристик молекулярного переноса: кинематической вязкости и коэффициента температуропроводности . Перенос импульса, связанный с величиной , определяется разницей скоростей, а перенос тепла, связанный с величиной , определяется разницей температур. Итак, число Pr явно содержит только величины, которые определяют физические свойства среды, и в действительности характеризует отношение между полями скоростей и температур. Тогда зависимость можно трактовать следующим образом: количество тепла, которое переносится (Nu) зависит от вида скоростного поля (Re) и его связи с полем температур (Pr).

Приведённые выше уравнения действительны только в том случае, если величины и др. по длине потока остаются постоянными, так как только при этом обеспечивается постоянство масштабных множителей. Вследствие того, что температура оказывает влияние на точное выполнение условий подобия бывает очень редко.