3.1.4 Гидродинамическое подобие
Для выяснения условий, при соблюдении которых уравнения движения будут подобны, или движения подобны, рассмотрим уравнения Навье-Стокса (3.12) - (3.14) для случая плоского потока в безразмерном виде.
За масштаб длины выбираем любой характерный размер тела (например, диаметр или радиус трубы), а за масштабы скоростей, давлений, плотностей, температур и др. - их характерные значения [6].Обозначим безразмерные величины теми же буквами, что и размерные, но с чертой и сделаем такую замену:
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
, 
.
За масштаб времени принято время, характерное для данного движения, а за масштаб массовых сил, отнесённых к единице массы, - ускорение силы тяжести.
После подстановки указанных величин в уравнения (3.12) - (3.14) получим уравнения плоского движения и уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости в безразмерной форме:
;
; (3.48)
.
Разделим первые два уравнения на 
, а третье на 
и опустим для простоты чёрточки над безразмерными величинами, после чего получаем:
;
;
.
Из этой системы уравнений следует, что если два потока подобны, то есть, они описываются одинаковыми уравнениями с одинаковыми граничными и начальными условиями, представленными в безразмерном виде, то для них должны быть одинаковыми по величине такие безразмерные величины, которые имеют свои собственные названия:
- число Струхаля характеризует зависимость составляющих инерционных сил от времени;
- число Фруда отражает отношение сил инерции к силам гравитации;
- число Эйлера характеризует отношение сил давления к силам инерции;
Re- число Рейнольдса отражает отношение сил инерции к вязкости.
Для полного моделирования необходимо полное подобие процессов, то есть равенство чисел сходства. При использовании данных, полученных на модели, должны быть удовлетворены для всех соответствующих точек на модели и в производственном аппарате три условия:
Re = idem; Eu = idem; Sh = idem. (3.49)
Однако теория и практика показывают, что при однородных потоках в модели и производственном аппарате устанавливаются такие профили скоростей, которые подобны между собой. Поэтому, для того чтобы удостовериться в подобии процессов, нет необходимости проверять наличие условий (3.49) для всех подобных точек.
Если, например, в трубопроводе вдоль его оси найдено, что Re = idem для производственного аппарата и модели, то соответственно этому Re = idem также для других точек пересечения потока. Однородными потоками называют такие, которые имеют подобные режимы движения (турбулентный, ламинарный), начальные условия (профиль скоростей на входе в аппарат), краевые условия. Последнее условие в отношении скоростей всегда выполняется по той причине, что скорости у стенок как в модели, так и в производственном аппарате всегда равны нулю.Другие условия подобия - геометрическое подобие (в том числе и шероховатость поверхности) и другие должны быть также выполнены. Но возникает вопрос: можно ли вообще соблюдения всех условий сходства и если да, то при каких обстоятельствах.
Если, например, при протекании жидкости в трубопроводе (твёрдые границы) появляются свободные поверхности жидкости, то для их учёта было бы необходимо ввести дополнительные условия подобия, которые определяются физическими законами их образования. То есть при свободных поверхностях невозможно одновременно выполнить все условия подобия. То же самое произойдёт, если свойства вещества (вязкость, плотность и др.) не являются постоянными и изменяются с температурой вдоль потока.
Для потоков, где нет таких трудностей, число условий подобия можно сократить, исходя из следующих соображений. Для стационарных процессов числа 
не имеют значения. Перепад давления в потоке будет зависеть от скоростных характеристик потока, т.е. Eu = f (Re). Таким образом, при изучении движения жидкости наиболее существенным будет число Re. Число Re приобретает решающее значение при определении структуры потоков (ламинарных и турбулентных). Структура потока определяет процесс переноса массы, количества движения, тепла.
То есть, обычно пользуются приблизительным моделированием, при котором подобие сохраняется по числам, наиболее характерным для данного процесса.