Аналитическая геометрия без преобразования координат

Аналитическая геометрия в современной законченной форме с общим исследованием кривых второго порядка могла развиться только вместе с теорией преобразования координат. Чтобы уяснить, какое значение имело в истории аналитической геометрии преобразование координат, я предлагаю обратиться к тем приемам, которые применялись до введения в аналитическую геометрию общих формул преобразования координат.

Каким образом решался вопрос, представляется ли какая-либо кривая уравнением

?ф*(а,Ь,с...)хУ=0? (И)

Для решения этой задачи выводится сперва общее уравнение этой кривой при каких угодно осях координат:

(12)

и затем определяется, возможно или невозможно определить а, Ь, с...

Так, например, молено установить, что геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно, есть окружность, сравнив получаемое на основании этого свойства общее уравнение с уравнением окружности

(х-а)2 +(y-fi)2 = Y2 ¦ (13)

Так поступаем и мы, когда выводим условия, при которых кривая второго порядка

Ах2 +2Bxy + Cy2+2Dx+2Ey + F = 0 (14)

представляет окружность (13).

Весьма интересно сравнительно позднее появление уравнения кривой второго порядка в общей форме (14). Бесспорно, что одной из причин этого является ясно выраженная тенденция держаться однородности строения уравнения. В картезианском смысле выражения Ах2, Dx и т.д. понимаются как отрезки, но только при введении масштабной едииицы, т.е.

Dx

при представлении Dx как —j- и т.п. Но как Декарт, так и его последователи не пользуются масштабной единицей; на ее месте всегда фигурирует некоторый произвольно взятый отрезок, и уравнение (14) доллено писаться в форме:

ах2 2Ьху су2 2dx 2су „ „

_—+ +——+f=0. (15)

m m m m m

Впрочем, в действительности в этой форме общее уравнение кривой второго порядка не пишется, так как в качестве параметров всегда стараются выбирать некоторые определенным образом построенные отрезки.

Еще интереснее отметить, что методы более ранних математиков, в том числе и самого Ферма, колеблются около приема преобразования координат, но эти ученые не могут овладеть названным приемом из-за того, что понятие координаты на плоскости не выяснено.

Без этого приема математическая мысль сперва преобразует урав-нение

Jf(x,y) = 0 (16)

в более простое

ф(х',у') = 0 (17)

при помощи формул

ш(х,у)=у'

х = х', (18)

истолковывая геометрически эту зависимость так, что и х', у', оказываются координатами.

Общей методы еще нет. Не сознается даже то, что формулы преобразования должны иметь линейную форму:

(19)

х' = ах+Ьу+с у' = а'х + Ь'у+ с'

Так, например, обстоит дело в сочинениях де ля Гира21.

Аналитическая геометрия даже во второй половине XVIII в. обходится без тригонометрии. Последняя в своей гониометрической части развивается медленно. Символика и алгебра тригонометрических величин создаются только Майером и Эйлером.

Основные формулы в теории прямой

у = ах -!- b, (20)

a=lga,

где угол a, образуемый прямой с Ох, появляется только вместе с гониометрической символикой22.

Вывода уравнения прямой у Декарта нет; у Ферма уравнение пря-мой имеется. Это странное явление объясняется различием их подходов. Декарт, идя от кривой к уравнению, извлекает (х, у) из внутренних элементов кривой, принимая, например, за у полухорду, за х ее высоту. Ферма же, идя or уравнения к кривой, должен брать за (х, у) внешние элементы. Можно сказать, что хотя (х, у) у него и не являются координатами на плоскости, но их можно признать координатами точки на прямой.