5.5. Преобразование прямоугольных координат из зоны в зону

Система плоских прямоугольных координат (см. 2.2..2) является зональной. Она установлена для каждой шестиградусной зоны, на которые делится поверхность Земли при изображении ее на картах в проекции Гаусса, и предназначена для указания положения точек земной поверхности на плоскости (карте) в этой проекции.

Началом координат в зоне является точка пересечения осевого меридиана зоны с экватором. Соответственно за оси координат в этой системе приняты изображение осевого меридиана – ось абсцисс Х и изображение экватора – ось ординат У.

Применение линейных величин для определения положения точек делает систему плоских прямоугольных координат весьма удобной для работы на карте и ведения расчетов, поэтому она и используется в артиллерии для указания положения элементов боевого порядка и определения установок для стрельбы.

Но могут возникнуть ситуации, когда средство разведки, огневая (стартовая) позиция, разведанная или поражаемая цель, будут находиться в разных зонах при различных вариантах их взаимного расположения. Следовательно, для ведения разведки и определения установок для стрельбы появляется необходимость приведения их к единому началу координат, то есть к системе координат одной из зон.

Поэтому при топогеодезической привязке вблизи стыка зон, когда дальность стрельбы (пуска) позволяет поражать цели в смежной зоне, координаты привязанных точек преобразовывают из одной зоны в другую.

Но так как осевые меридианы соседних зон между собой не параллельны, а расположены под некоторым углом друг к другу, величина которого увеличивается по мере удаления от экватора, то при смыкании листов карты смежных зон под этим углом расположатся и вертикальные линии координатной сетки (рисунок 5.15). На листах карты смежных зон, которые показаны на рисунке, линии координатной сетки своей зоны проведены сплошной линией, а их продолжения в соседнюю зону – пунктирной.

Из сказанного следует, что дирекционный угол одного и того же направления (прямой линии), пересекающего разделительный меридиан смежных зон, в разных зонах будет различным. Поэтому в ряде случаев появляется необходимость определять поправку и в дирекционный угол за переход из зоны в зону. При этом из рисунка видно, что дирекционный угол в восточной зоне (зоне, расположенной восточнее разделительного меридиана зон) будет больше, чем дирекционный угол в западной зоне.

Особенности выполнения топогеодезических работ на стыке координатных зон при различных ситуациях будут изложены в 10.9, а в данном параграфе описывается порядок преобразования координат из зоны в зону и порядок определения поправки в дирекционный угол за переход в эту зону различными способами.

Для определения величины дирекционного угла какого-либо ориентирного направления в соседней зоне используются формулы:

при переходе в восточную зону – αВ = αЗ + Δα;

при переходе в западную зону – αЗ = αВ – Δα, (5.21)

где αВ – дирекционный угол ориентирного направления в восточной зоне;

αЗ – дирекционный угол этого же ориентирного направления в

западной зоне;

Δα – поправка в дирекционный угол за переход из зоны в зону.

Точная формула для вычисления поправки в дирекционный угол за переход из зоны в зону имеет вид:

, (5.22)

где L, B – геодезические координаты точки, для которой осуществляются

преобразования;

L0 – долгота осевого меридиана той зоны, в которую осуществляется

преобразование. Значение второго члена формулы (5.22) не превышает 1,9' при переходе в смежную зону и 3,7' при переходе через одну зону. Если этими значениями пренебречь, то зависимость (5.22) примет вид:

Δα = 360'·sinB, (5.23)

где – широта точки, для которой осуществляется переход из зоны в зону.

По формуле (5.23) значение поправки в дирекционный угол за переход из зоны в зону будет определено в угловых минутах. Учитывая, что 360' соответствует 1˚ или 1-00, зависимость для определения поправки в больших делениях угломера будет иметь вид:

Δα = sinB. (5.24)

Таким образом, поправка в дирекционный угол за переход из зоны в зону при упрощении формулы является функцией одного аргумента и ее значения могут быть сведены в таблицу. Таблица, составленная с использованием зависимостей (5.23) и (5.24) представлена в приложении И. Входом в нее является абсцисса точки, для которой осуществляются преобразования, в системе координат исходной зоны Хисх в километрах.

Пример. Определить поправку в дирекционный угол за переход в смежную зону, если Хисх = 6065490 (В = 54˚40'50").

Решение

а) по формулам: Δα = sin54˚40'55" = sin54,682˚ = 0-82.

Δα = 360'· sin54,682˚ = 360'· 0,816 =293,8' = 4˚53,8'.

б) по таблице приложения И: Хисх = 6065 км.

Для Хисх = 6100 км Δα = 0-82.

При перемещении на 10 км Δα изменяется на 0,32'.

Δα = 4˚51,7' + 0,32'· 6,5 = 4˚53,8'.

На стыке координатных зон используются следующие способы преобразования координат из зоны в зону:

графический;

с помощью ЭВМ;

расчетно-аналитический.

Графический способ применяют при отсутствии ЭВМ и недостатке времени для использования расчетно-аналитического способа.

Сущность способа заключается в построении линий координатной сетки смежной зоны на листе карты данной зоны. При издании топографических карт в зарамочном оформлении даются выходы в виде коротких черточек и оцифровка координатных линий смежной зоны на полосу шириной в два градуса по долготе к востоку и западу от разделительного меридиана (рисунок 5.16). Таким образом, все листы карты, на которых изображена местность расположенная в пределах двух градусов восточнее от разделительного меридиана смежных зон, имеют выходы координатной сетки западной зоны.

Преобразование координат выполняют в последовательности:

по заданным координатам в своей зоне наносят точку на карту (если она не нанесена);

в районе нанесенной точки строят квадрат координатной сетки смежной зоны, используя для этого выходы и оцифровку координатных линий смежной зоны;

используя оцифровку координатных линий смежной зоны, в полученном квадрате снимают требуемые координаты.

На рисунке 5.16 показан пример преобразования координат точки из четвертой зоны в третью.

При графическом преобразовании координат все построения на карте ведут остро отточенным карандашом, а нанесение точек на карту и снятие координат должно осуществляться с помощью циркуля-измерителя и поперечного масштаба. При соблюдении этих условий точность преобразования координат характеризуется круговой срединной ошибкой, равной 0,3 мм в масштабе карты.

Недостатками графического способа преобразования являются:

появление дополнительных ошибок в определении координат привязываемых точек при нанесении точки на карту и построении квадрата координатной сетки смежной зоны;

невозможность преобразования координат из центра зоны в полосе шириной в два градуса по долготе, где нет выходов координатных линий смежной зоны;

невозможность преобразования координат через одну или несколько зон.

Существует несколько методов преобразования координат с помощью ЭВМ. Один из них основан на вычислении геодезических координат точки по имеющимся прямоугольным координатам в своей зоне и в последующем вычислении прямоугольных координат этой точки в системе координат смежной зоны (или через одну-две) по ее геодезическим координатам. Этот метод имеет высокую точность получения преобразованных координат.

Методы преобразования координат расчетно-аналитическим способом основаны на использовании таблиц, принципы построения которых могут быть различными.

В качестве узловых назначают точки пересечения линий координатной сетки, проведенных с интервалом 100 км. Сокращенные прямоугольные координаты этих точек в системе координат исходной зоны равны х10 = 00000, У10 = 00000. Для каждой узловой точки с помощью ЭВМ определяют ее координаты в смежной зоне х0 изУ0 , а результаты сводят в таблицу. Входом в таблицу являются координаты узловой точки в системе координат исходной зоны. При наличии таких таблиц задача преобразования координат в систему координат смежной зоны сводится к задаче интерполирования по двум аргументам.

Рассмотрим геометрическую сущность преобразования координат точки С из восточной зоны в западную при наличии таблиц для преобразования координат узловых точек из восточной зоны в западную (таблица 2 приложения К).

Точка N (рисунок 5.17) узловая, имеет координаты х10 и У10 в системе координат исходной восточной зоны и х0З и У0З в системе координат смежной западной зоны. Точка С в системе координат исходной зоны имеет сокращенные координаты ΔхВ и ΔУВ (приращения координат относительно координат х10 и У10 узловой точки). На рисунке этим приращениям координат соответствуют длины отрезков NА и АС. Для нахождения координат точки С в системе координат смежной западной зоны хЗ и УЗ необходимо к координатам узловой точки в западной зоне х0З и У0З прибавить длины отрезков NК и КС.

Из рисунка 5.17 имеем:

NК = NД +ДК = NД + ВС = NА ∙cos ∆α + АС ∙sin ∆α = ∆ХВ ∙cos ∆α + ∆УВ ∙sin ∆α;

КС = ДВ = АВ – АД = АС ∙cos ∆α – NА ∙ sin ∆α = ∆УВ ∙cos ∆α – ∆ХВ ∙ sin ∆α .

Обозначим cos ∆α = m, sin ∆α = n. Окончательно получим:

хЗ = х0З + ΔхВ·m + ΔУВ·n;

УЗ' = У0З + ΔУВ·m – ΔХВ·n .

Формулы (5.25) являются приближенными, так как не учитывают изменения масштаба изображения в проекции Гаусса. Более точные формулы имеют вид:

хЗ = х0З + ΔхВ·m + ΔУВ·n – Δ2х· К ;

УЗ' = У0З + ΔУВ·m – ΔХВ·n + Δ2у·К , (5.26)

где Δ2х, Δ2у, К – коэффициенты для интерполирования.

Формулы (5.26) позволяют производить преобразования координат из восточной зоны в западную. При этом в результате вычислений получают действительное значение ординаты Усм' , то есть расстояние от осевого меридиана зоны, потому что в используемой таблице для смежной западной зоны указаны действительные координаты х0 и У0.

Для получения условной ординаты (расстояния от условно вынесенного на 500 км на запад осевого меридиана зоны) необходимо использовать формулу:

У З = 500000 + УЗ'. (5.27)

Для преобразования координат из западной зоны в восточную можно воспользоваться аналогичным подходом.

Из рисунка 5.18 следует, что для нахождения координат точки С в системе координат смежной восточной зоны необходимо к координатам узловой точки в этой зоне х0В и У0В прибавить длины отрезков NА и NВ.

NА =(NК – МК) ∙cos ∆α = (NК – КС ∙tg ∆α) ∙cos ∆α = NК ∙cos ∆α – КС ∙sin ∆α = ∆ХЗ ∙cos ∆α – ∆УЗ ∙sin ∆α;

NВ = ДВ + NД = КС ∙cos ∆α + NК ∙ sin ∆α = ∆УЗ ∙cos ∆α + ∆ХЗ ∙ sin ∆α .

Обозначим, как и в предыдущем случае, cos ∆α = m, sin ∆α = n. Окончательно получим:

хВ = х0В + ΔхЗ·m – ΔУЗ·n;

УВ' = У0В + ΔУЗ·m + ΔХЗ·n . (5.28).

Анализ зависимостей (5.25) и (5.28) показывает, что они отличаются знаками перед слагаемыми. Кроме того, для преобразования координат точки из западной зоны в восточную по зависимости (5.28) необходимо дополнительно иметь таблицу аналогичную таблице 2 приложения К для преобразования координат узловых точек из западной зоны в восточную. Поэтому на практике задачу преобразования координат точки С из западной зоны в восточную сводят к преобразованию координат вспомогательной (промежуточной) точки С´ из восточной зоны в западную (рисунок 5.19).

На рисунке условные прямоугольные координаты точки С в системе координат западной зоны обозначены хЗ и УЗ. Необходимо получить действительные прямоугольные координаты этой точки в системе восточной зоны хВ и УВ' .

Возьмем промежуточную точку С´ в восточной зоне, расположенную симметрично точки С относительно разделительного меридиана (граница западной и восточной зоны). Если координаты точки С´ преобразовать в систему западной зоны, то получим значения длин отрезков ВОЗ и С´В. Точки С и С´ симметричны, поэтому ВОЗ = хВ , а С´В = УВ' . То есть значения действительных координат точки С в восточной зоне по абсолютным значениям равны значениям действительных координат промежуточной точки С´ в западной зоне. Следовательно, преобразование координат точки из западной зоны в восточную можно свести к преобразованию координат промежуточной точки, находящейся в восточной зоне симметрично исходной точки относительно разделительного меридиана, из восточной зоны в западную.

Для преобразования координат необходимо знать координаты промежуточной точки С´ в восточной зоне ХВпр и УВпр, то есть необходимые для преобразования промежуточные данные.

Вследствие симметричности точек С и С´ имеем два равенства ХВпр = хЗ, КС = К´С´. Из последнего равенства следует УЗ – 500000 = 500000 – УВпр .

Следовательно

УВпр = 1000000 – УЗ. (5.29)

В связи с тем, что в результате преобразования будут получены действительные координаты точки в восточной зоне хВ и УВ', необходимо будет найти условную ординату точки в восточной зоне УВ. Из рисунка видно, что искомая величина определяется по формуле:

УВ = 500000 – УВ'. (5.30)

На основании изложенного можно составить следующую единую последовательность преобразования координат расчетно-аналитическим способом из одной зоны в другую:

определить полные прямоугольные координаты точки в системе координат исходной зоны хисх и УИСХ и записать их (УИСХ – без номера зоны);

при преобразовании координат из западной зоны в восточную определить ординату промежуточной точки по формуле УИСХпр = 1000000 – УИСХ и использовать в последующем ее значение в расчетах вместо УИСХ;

определить сокращенные координаты точки (последние пять цифр полных координат) в системе координат исходной зоны Δх и ΔУ;

используя таблицу 1 приложения К, определить по Δх и ΔУ (в км) значение коэффициента К;

определить ближайшие меньшие относительно хисх и УИСХ координаты узловой точки в системе координат исходной зоны по формулам

х10 = хисх – Δх, У10 = Уисх – ΔУ;

используя таблицы 2, 3, 4 приложения К, определить по х10 и У10 (в км) координаты узловой точки в системе координат смежной зоны х0 и У0 и значения коэффициентов m, n, Δ2х, Δ2у;

рассчитать действительные значения координат точки в системе координат смежной зоны по зависимостям

хсм = х0 + Δх·m + ΔУ·n – Δ2х· К,

Усм' = У0 + ΔУ·m – ΔХ·n + Δ2у·К;

определить условную ординату точки в системе координат смежной зоны по формулам

У см = 500000 + У см' – при преобразовании в западную зону,

У см = 500000 – У см' – при преобразовании в восточную зону;

дописать в координате У см номер смежной зоны.

Пример: Преобразовать расчетно-аналитическим способом координаты точки из 11-й (западной) зоны в 12-ю (восточную), если хИСХ = 5958455, УИСХ = 11697975.

Решение

1. хИСХ = 5958455, УИСХ = 697975.

2. УИСХпр = 1000000 – 697975 = 302025.

3. Δх = 58455 м = 58 км, ΔУ = 02025 м = 02 км.

4. К = 0.29 – из таблицы 1 приложения И.

5. х10 = 5958455 – 58455 = 5900000 м = 5900 км,

У10 = 302025 – 2025 = 300000 м = 300 км.

6. х0 = 5900042, У0 = 201012 – из таблицы 2 приложения К;

m = 0.9969, n = 0.0843 – из таблицы 3 приложения К;

Δ2х, = 95, Δ2у= 15 – из таблицы 4 приложения К.

7. хсм = 5900042 + 58455· 0.9969 + 2025 · 0.0843 – 95 · 0.29 = 5958459;

Усм' = 201012 + 2025 · 0.9969 – 58455 · 0.0843 + 15 · 0.29 = 198107.

8. У см = 500000 – 198107 = 301893;

9. хсм = 5958459; У см = 12301893.

Таблица 6.7 – Бланк для преобразования координат точек из зоны в зону

хсм = х0 + Δх·m + ΔУ·n – Δ2х· К,

Усм' = У0 + ΔУ·m – ΔХ·n + Δ2у·К

Для удобства работы в ходе вычислений может использоваться специальный бланк, форма которого представлена в таблице 5.7. В данной таблице показан порядок решения того же примера.

Рисунок 5.1 – Необходимость топогеодезической привязки

Рисунок 5.2 – Наземные геодезические знаки

а

б

Рисунок 5.3 – Схема определения дирекционного угла α2 и горизонтального угла ß

Рисунок 5.4 – Прямая и обратная геодезические задачи

Рисунок 5.5 – Величина румба и знаки приращений координат

Рисунок 5.6 – Решение треугольника по двум углам и одной стороне

Рисунок 5.7 – Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Рисунок 5.8 – Содержание топогеодезической привязки КНП

Рисунок 5.9 – Сущность топогеодезической привязки пунктов сопряженного наблюдения

Рисунок 5.10 – Содержание топогеодезической привязки пунктов позиции РЛС

Рисунок 5.11 – Содержание топогеодезической привязки акустической базы

Рисунок 5.12 – Содержание топогеодезической привязки огневой позиции

Рисунок 5.13 – Сущность наведения орудий, минометов и боевых машин на цель по направлению

Рисунок 5.14 – Содержание топогеодезической привязки стартовой позиции ракетной батареи

Рисунок 5.15 – Взаимное расположение координатных сеток смежных зон

4 зона: хисх = 6073780, УИСХ = 4309390;

3 зона: хсм = 6073610, У см = 3696775.

Рисунок 5.16 – Графический способ преобразования координат из зоны в зону

Рисунок 5.17 – Преобразование координат расчетно-аналитическим способом из восточной зоны в западную

Рисунок 5.18 – Возможный подход к преобразованию координат расчетно-аналитическим способом из западной зоны в восточную

Рисунок 5.19 – Преобразование координат расчетно-аналитическим способом из западной зоны в восточную