§ 8. Арно и Рамус.

То, что если не сам Рамус, то его современники, мыслившие так, как он сам, оставили след в математической мысли, можно заключить из того, что никто из нас не будет пользоваться определениями вроде определения 4-го III книги "Начал":

"В круге прямые называются равноотстоящими от центра, когда от центра проведенные перпендикулярные к ним суть равны", а будет сперва определять расстояние точки от прямой вообще.

Не будем говорить:

"Отрезок (сегмент) круга есть тот, который содержится [между] прямою и окружностью круга", а будет определять сегмент вообще и т.д.

За Рамусом через одно столетие последовал Арно"1. Это уже не комментатор Евклида. Он ие намечает порядок теоремам, перечисляя их вместе со своими комментариями, он старается дать ряд положений с обо-сновывающими их доказательствами в порядке, определяемом некоторыми общими принципами.

Время Арно проникнуто уже другими настроениями.

Это время расцвета рационализма.

Это время, когда центр тяжести был перенесен с определений на аксиомы, на те очевидные истины, которые в глазах рационалистов суть своего рода откровения свыше, открывающиеся нашему уму непосредственно, как только рассеется окружающий его туман чувственности.

Эти сто лет оказались вполне достаточны, чтобы привести к созна- наю, что логики классов недостаточно, что необходима еще логика отношении, что иерархию истины следует строить, основываясь не на соподчи-нении вида классу, а иа возрастающем осложнении отношений.

Нельзя сказать, чтобы Арио строго держался этой точки зрения, иногда он стоит еще на точке зрения Рамуса. Евклид, по мнению Арно, не идет от более простого к более сложному, ибо в первых четырех книгах он излагает ряд теорем на плоскости, доходя уже в первой книге до magisterum matlieseos (Повелителя математических наук (лат., метаф.)) - теоремы Пифагора.

В пятой книге он вдруг возвращается к теории пропорции, относящейся ко всем ветчинам.

Так что, он идет от частного к общему, вместо того, чтобы идти от общего к частному.

От более сложного - фигур, например, треугольников - он идет к более простому - параллельности и перпендикулярности двух прямых, вместо того, чтобы от более простого - изучения взаимоотношений двух прямых - идти к более сложному - к фигурам, ограниченным тремя прямыми.

Но принцип движения от простого к более сложному весьма часто находится в антагонизме с принципом двшкения от общего к частному.

С точки зрения рационалистов XVII века, кривая всегда есть нечто более сложное, чем прямая, ибо кривая разлагается на бесконечное число прямолинейных элементов. По плану Арио, изучение кривой вообще должно идти во всяком случае, после изучения прямой.

Во взглядах на кривую в особенности ярко выступает разница между математическими умами этих двух эпох. Для Рамуса линия - это прежде всего класс, объемлющий прямые и ие прямые (кривые); для Арно же ли-ния это прежде всего совокупность прямых, находящихся в некоторых вза- имоотцошениях<>'.

Кривая - носитель точек, раньше не смешивалась с совокупностью производителей" - с пушетуалом; в глазах же приверженцев метода неделимых, именно, имеет место это смешение.

Этот взгляд все резче и резче выступает, пока метафизика неделимых, наконец, не приводится в лабиринт несуразностей.

У де Лакайля"1 прямая определяется так:

"Конечная прямая линия - это ряд бесконечного числа бесконечно малых прямых, которые в отдельности прямо положены без всякого сгибания, без наклонения друг к другу, кривая - рад бесконечно малых, имеющих различное положение".

Это очень характерное определение.

Это не рамическое определение per geiuis et diHerentiam.

Не думайте, что первая часть этого определения - грубый circulus vitiosus^ , в котором прямая определяется с помощью прямой. Бесконечно малый прямолинейный отрезок здесь - некоторая концепция разума, но не чувственный элемент, из которого слагается как прямая, так и кривая.

Здесь определение обещает вскрыть сущность определяемого объек-та, его внутреннюю структуру: прямая вполне определяется двумя точками, она кратчайшая [линия] между двумя точками ит.д, - это все свойства, уже вытекающие из ее структуры и ни в коем случае не могущие служить определением прямой.

Предпослав учение о величинах вообще, Арно прежде всего рассматривает прямые, а вовсе не линии вообще.

Параллелизм линий вообще для него не простое понятие, а понятие разложимое.

Как и у Рамуса угол фигурирует в двух видах: как lineatum и planum. Угол - lineatum, помещается раньше угла planum, потому что в первом случае, мы имеем более простое взаимоотношение двух прямых, между тем как во втором случае - взаимоотношение двух прямых и плоскости.

Но в противоположность Рамусу, термин "угол" Арно относит не к углу lineatum, а к углу planum.

Это определение очень типично для той эпохи и резко отличается от рамических определений. Это - описание характерных свойств, которые чистый разум должен с помощью своего рода рефлексии узреть: "Прямолинейный угол, говорит Арно, это площадь, заключенная между двумя прямыми, сходящимися в одной точке с той стороны, куда они сближаются, неограниченные и неопределенные (indefinie et indeternminee) по одному из измерений, а. именно, тому, которое отвечает длине прямых его обнимающих, и определенный по другому [измерению] с помощью пропор-циональных частей круга, центр которого точка, где сходятся эти прямые". Это определение, вероятно, ведет свое происхождение от взглядов Рамуса, чуждых "Началам" Евклида и, в свою очередь, из него происходит определение угла Бертрана Женевского, вошедшее во многие учебники лежанд- ровского типа®.

Смешанные углы касания и угол касания, так беспокоивший математиков XVI века, о котором мы будем говорить ниже, исчезли в XVII веке.

Согласно Арио, угол представляет более простое взаимоотношение элементов, чем треугольник, где мы имеем не два, а три элемента, поэтому и изучение углов должно вестись раньше изучения треугольников.

Углы изучаются с помощью дуг и хорд (или синусов).

Сейчас же за определением угла Арно устанавливает понятие основания угла, т.е. прямой, соединяющей две точки иа сторонах угла (так- лее. как Рамус, но с той разницей, что Рамус говорит об основании угла вообще, а Арно ограничивается простейшим прямолинейным углом):

Истинной мерой угла является дуга круга, но ввиду невозможности измерения кривой приходится измерять углы синусами и хордами.

Арно находит необходимым говорить о всех трех родах измерения углов.

Арно приходится (как Рамусу), не называя это своим настоящим именем, доказывать 2 случая конгруэнтности треугольников.

"Два неравносторонних угла равны, если соответствующие стороны и основания равны". Два равных и равносторонних угла имеют равные основания".

От этих несовершенных методов следует перейти к измерению дугами кругов, но с центрами уже не в вершинах, т.е. рассмотреть главу о вписанных и описанных углах.

От изучения углов, т.е. площадей, ограниченных пересекающимися прямыми, Арно переходит к изучению параллельных пространств или полос, образованных не пересекающимися прямыми67 (espaces paralleles) которые представляются ему, как тип более сложного взаимоотношения, чем то, которое дается плоскостью и двумя пересекающимися прямыми, (ибо вводится ограничение, которого раньше не было).

Как при изучении углов рассматривались их основания, так при изучении параллельных полос должны рассматриваться отрезки прямых между ними.

Как синусу, так и хорде отвечает расстояние мезісду параллельными.

Основаниям двух углов отвечают прямые равиоиаклоненные к сторонам двух полос.

Основным положением теории пропорциональных линий является следующее:

"Когда две прямые равнонаклонены в двух параллельных полосах, они относятся между собой, как перпендикуляры этих полос (т.е. широты последних) и как их удаления от перпендикуляров".

Отметим, что в дальнейшем изложении этой главы у Арно молено найти доказательство основной теоремы теории пропорциональных линий (об отрезках отсекаемых параллельными на двух пересекающихся прямых), которой не существовало и у Евклида, и котрой нет у Лежандра и которое только начиная с Лакруа® входит в геометрические учебники.

За теорией пропорциональных линий по Арно, следует перейти к тому, что образовано во всей определенности с помощью прямых, т.е. к прямолинейным фигурам.

Дальнейший порядок очевиден: сперва следует рассматривать фигуры сами по себе, затем - в сравнении с другими.

Следовало бы ожидать, что за треугольниками последуют четырехугольники и, наконец, многоугольники.

Ибо первый проще второго, второй третьего и т.д., и многоугольник можно рассматривать состоящим из треугольников.

Но здесь выступает другой принцип - от общего к частному - и Арно сперва говорит о фигурах вообще, сообщая некоторые сведения о вписанных и описанных правильных многоугольниках.

Только в 13-й книге у Арно говорится о конгруэнции треугольников, и, конечно, все оказывается уже готовым, и только приходится полученный в предшествующих книгах материал перекладывать на язык треугольников.

Арно доказывает теорему о том, что большему углу отвечает большая сторона, описывая окружность около треугольника и ссылаясь иа то, что большей дуге отвечает большая хорда.

Интересно здесь отметить, что в XVIII веке, когда в изложении учебников в большей пли меньшей мере сказывался порядок Арио (orclo Artioldianus)4*, вместо обычного евклидового доказательства теоремы о сумме углов треугольника, проводилось доказательство того же, с помощью описанного круга и ссылкой па теорему о вписанных в круг углах.

В теории треугольников обнаруживается опять тенденция идти от общего к частному, например от треугольников общего типа к равнобедренным треугольникам.

Геометрия Арно заканчивается определением площадей и, таким образом, является не законченной, представляя только образец для построения полного курса геометрии, согласно проводимым в ней принципам.

Новый порядок требует от Арно признания за аксиому положения:

"Если две точки прямой равно отстоят от двух точек А и В, то то же относится и ко всем точкам [прямой]".

Но этого мало.

Необходимо ввести все-таки наиболее простое положение о конгруэнтности, относящееся к треугольникам, настолько простое, чтобы, согласно требованиям Арно, минуя процесс наложения, можно было бы выдать его за положение очевидное.

Так как в первой книге по причинам, которые мы выше изложили, Арно находит недозволенным говорить о треугольниках, это положение формулируется так, что слово: "треугольник" совершенно избегается.

При этом, положение это даже не выдвинуто, как особая аксиома, и отмечено в Avertissement" .

"Это то же самое, говорит Арно, рассуждать о двух наклонных прямых, рассматривая нх или проведенными из одной точки на одну прямую, или из двух различных на две различные прямые, при том условии, что расстояния до этих точек от прямых равны", что сводится к утверждению равенства катетов прямоугольных треугольников, у которых другие катеты и гипотенузы равны.