6.3 Структурные средние вариационного ряда.

Мода ( Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повто-ряющегося с наибольшей частотой.

Медианой (Ме) называется значение признака, приходящегося на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Рассмотрим пример определения моды и медианы по не сгруппированным данным.

2, 3,3,3,4,4,5,6,6.

Центральным в этом ряду является рабочий 4 - го разряда, следовательно он и будет медианным. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Для сгруппированных данных в виде дискретных рядов распределения определение моды и медианы рассмотрим на примере, исходные данные которого приведены в таблице 2.

Таблица 2- Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду Тарифный разряд Численность рабочих 2 12 3 48 4 56 5 60 6 14 Всего 190 Наибольшую частоту имеют рабочие 5 -го разряда, следовательно именно этот разряд является модальным.

Для определения медианного значения признака необходимо определить номер медианной единицы ряда по следующей зависимости

N = n +1

N Ме , ( 11 )

где n - объем совокупности.

Для рассматриваемого примера

Кые =( 190 +1)/2 =95,5.

Полученное значение указывает на то, что точная середина находится между 95 и 96 рабочими. Необходимо определить к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно установить рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что рабочих с этими номерами нет в первой группе, нет их и во второй группе, так как накопленная частота для второй группы равна (12+48) = 60.

Расчет моды и медианы для интервальных вариационных рядов производится по формулам

М = x + j (fMo ~ fMo-1 )

М о — x 0 + j ( 12 )

(fMo — fMo-1 ) + (fMo — f Mo+1 ) '

х0 - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); i - величина модального интервала; fHo - частота модального интервала;

fMo-1; ?мо+1 - частота интервала предшествующего модальному и следующего за модальным соответственно.

2 X fi SMe-1

Ме — x0 + j f , (13 )

J Me

где х0 - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i - величина медианного интервала;

S Ме-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному.; fi^ - частота медианного интервала.

Рассмотрим приме расчета моды и медианы, используя исходные данные, приведенные в таблице 3.

Таблица 3. - Распределение населения РФ по уровню среднедушевых номинальных денежных доходов в 1 полугодии 1997г. Группы по уровню среднедушевого месячного дохода, тыс. руб. Численность населения, млн.

чел. До 400 29,6 400 -600 30,6 600-800 25,1 800-1000 18,4 1000-1200 12,8 1200-1400 9,4 1400-1600 5,6 1600-1800 4,1 1800-2000 3,3 свыше 2000 8,6 Итого 147,5 Алгоритм расчета моды.

Определяем модельный интервал, это 400-600 тыс. руб.

Определяем нижнюю границу модельного интервала х0, она равна 400тыс. руб.

Определяем величину модельного интервала i , она равна 200 тыс. руб.

По зависимости ( 12 ) рассчитываем моду

Мо = 400 + 200 (( 30, 6 - 29,6)/ (30,6 -29,6) +( 30,6 -25,1)) = 430,8 тыс. руб. Алгоритм расчета медианы.

1. Определяем медианный интервал, для чего рассчитываем накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половину суммы накопленных частот ( для рассматриваемого примера это 147, 5\ 2 = 73, 75 мл.

Таблица 4. - Определен6ие медианного интервала Интервал, тыс. руб. Накопленная частота, мл.

чел До 400 29,6 400 - 600 60,2 600 - 800 85,3 Тогда медианный интервал равен 600- 800 тыс. рубл.

Определяем нижнюю границу медианного интервала х0, она равна 600тыс. руб.

Определяем величину медианного интервала i , она равна 200руб.

По зависимости (13) рассчитываем медиану

Ме = 600 + 200(( 73,75 - 60, 2)/25,1)) = 708,0 тыс. руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической имеет важное прикладное значение, так как позволяет оценить асимметрию распределения признака в совокупности.

В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой с средней арифметической, тем больше асимметричен ряд.

Существует условие. Для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической должно примерно в три раза превышать разность между медианой и средней

\Мо - х | = 3 Ме - х\ (14 )