Полигармонические процессы

(1.37)

x(t) = x(t + nT), n = 1,2,3...

Как и в случае гармонического процесса, интервал времени, в течении которого происходит одно полное колебание, называется периодом Т.

an

x(t) = у + ? (an cos(2nnft) + Ъп sin(2nft)),

n=1

где:

1 2 t

(1.38)

f = T;an = T jx(t)cos(2nft)dt,n = 0,1,2...;

ЪП = T j x(t) sin(2nft )dt, n = 0,1,2...

Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:

ад

x(t) = х0 + ?Xn cos(2nft - 0n), (1.39)

n=1

где:

n = 1,2,3...

Г h Л

0 = arctg

V an у

Как видно из формулы (1.39), полигармонические процессы состоят из постоянной компоненты Х0 и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с амплитудами Xn и начальными фазами. Частоты всех гармоник кратны основной частоте f.

X0 = a2L; Xn = Val + ъп ,n = 1,2,3...;

j Амплитуда Xi

X2

X3

Xo

f 2f 3f

Рисунок 9 - Спектр полигармонического процесса

На практике при анализе периодических процессов начальные фазы часто принимаются во внимание. В этом случае формуле (1.39) соответствует дискретный спектр, изображенный на рисунке 9. Иногда полигармонические процессы состоят всего из одной частотной составляющей, а остальные могут отсутствовать.

Центрированным называется сигнал, лишенный постоянной составляющей

X(t) = 2 (ак sin(kw) + Ък cos(kwt)) =2 A sin(kwt + фк). (1.40)

к=1 к=1

Полная энергия сигнала описывается соотношением

T 0 2

A = j X (t)dt,

A = j2 K2 + bk2)sin2(kwt + фп)dt = -2 A2 , (1.41)

0 к=1 2 к=1

то есть энергия сигнала пропорциональная сумме квадратов амплитуд бесконечного ряда гармоник.

Часто в качестве модели сигнала используется усеченный ряд Фурье

0 N

Xm (t) = 2 (ак sin(twt) + Ък cos^t)) , (1.42)

к=1

причем N определяется в предложении, что энергия модели составляет 95 % энергии самого сигнала, что эквивалентно отысканию верхней граничной частоты и, следовательно, нахождению частного диапазона сигнала.

Физические явления, которыми соответствует полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией.